京都大学(理系) 2026年　問題1


$a\ は \ 1\ より大きい実数とし、k\ は実数とする。0 < x < 1 \ において定義された関数を \ f(x)=\dfrac{1}{x^2\big(\log \dfrac{a}{x}\big)^2} \ \ と$
$おく。y=f(x)\ と \ y=k\ のグラフの共有点がちょうど \ 2\ 個存在するような実数の組 \ (a,\ k)\ の集合を、座標$
\[平面上に図示せよ。ただし、\log x \ は自然対数とする。また、\lim_{x \rightarrow +0} x\log x=0 \ \ が成り立つことを証明なしに\] $用いてよい。$


$f(x)=\dfrac{1}{x^2\big(\log \dfrac{a}{x}\big)^2}=\dfrac{1}{\big(x(\log a-\log x)\big)^2} $

\begin{eqnarray*} f'(x) &=&\dfrac{-2}{\big(x(\log a-\log x)\big)^3} \times \big\{(\log a - \log x )+x \big(-\dfrac{1}{x}\big)\big\}\\ \\ &=&\dfrac{-2}{\big(x(\log a-\log x)\big)^3} \times (-1 + \log a - \log x )\\ \\ &=&\dfrac{2(\log x +1-\log a)}{\big(x(\log a-\log x)\big)^3} \\ \end{eqnarray*}
$0 < x < 1 < a \ \ だから \ \ f'(x)\ の分母は正$

$f'(x)=0 \ \ より \quad \log x=-1+\log a=\log \dfrac{a}{e} \qquad \therefore \ \ x=\dfrac{a}{e}$


(i)$\ \ 0 < \dfrac{a}{e} < 1 \ \ のとき$

$a > 1 \ \ だから \ \ 　1 < a < e $

$\quad 増減表$
\[ \quad \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& 0 & \cdots & \dfrac{a}{e} & \cdots & 1\\ \hline f'(x)& & - & 0 & + & \\ \hline f(x)& & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \end{array} \]

　

$f(x)\ は \ x=\dfrac{a}{e}\ で極小となり　極小値は$

$f(\dfrac{a}{e})=\dfrac{1}{\big(\dfrac{a}{e}(\log a-\log \dfrac{a}{e})\big)^2}=\dfrac{1}{\big(\dfrac{a}{e}\big)^2}=\dfrac{e^2}{a^2} $

$x \longrightarrow +0 \ \ のとき \ \ x\log x \longrightarrow \ \ 0 だから \quad f(x) \longrightarrow +\infty$

$f(1)=\dfrac{1}{(\log a)^2}$

$y=f(x)\ と \ y=k\ のグラフの共有点がちょうど \ 2\ 個$

$存在するのは$

$\dfrac{e^2}{a^2} < k < \dfrac{1}{(\log a)^2}\ \ のときである$


(ii)$\ \ \dfrac{a}{e} > 1 \ \ のとき$

$a > e \ \ だから \ \ \log a >1 , また \ \ 0 < x < 1 \ \ だから \ \ \log x < 0$

$\therefore \ \ f'(x)=\dfrac{2(\log x +1-\log a)}{\big(x(\log a-\log x)\big)^3} <0$

$y=f(x)\ は単調減少だから \ y=k\ とのグラフの共有点は1\ 個である。$

　

(i),(ii)$\ \ より \ \ y=f(x)\ と \ y=k\ のグラフの共有点がちょうど$

$2\ 個存在するのは$

$ 1 < a < e \ で、 \dfrac{e^2}{a^2} < k < \dfrac{1}{(\log a)^2}$

$集合(a,\ k)\ は右図のとおりで、境界は含まない。$


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