京都大学(理系) 2025年　問題4


$座標空間の \ 4\ 点O,\ A,\ B,\ C\ は同一平面上にないものとする。s,\ t,\ u\ は \ 0\ でない実数とする。直線OA\ 上の$
$点L,直線OB\ 上の点M,直線OC\ 上の点N\ を \ \vec{OL}=s\vec{OA},\ \ \vec{OM}=t\vec{OB},\ \ \vec{ON}=u\vec{OC}\ \ が成り立つようにとる。$
$(1)\ \ s,\ t,\ u\ が \ \ \dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u}=4\ \ を満たす範囲であらゆる値をとるとき、3\ 点L,\ M,\ N\ の定める平面LMN \ は$
$\quad s,\ t,\ u\ の値に無関係な一定の点P\ を通ることを示せ。さらに、そのような点はただ一つに定まることを示せ。$
$(2)\ \ 四面体OABC\ の体積を \ V\ とする。(1)における点P\ について、四面体PABC\ の体積を \ V\ を用いて表せ。$


(1)

　

$平面 LMN \ の法線ベクトルを \ \vec{n},平面上の点をQ\ とし、$

$\vec{OA}=\vec{a},\ \ \vec{OB}=\vec{b},\ \ \vec{OC}=\vec{c},\ \ \vec{OQ}=\vec{q}\ \ とおく。$

$\vec{LQ} \perp \vec{n} \ \ より \quad \vec{LQ} \cdot \vec{n}=0$

$(\vec{OQ}-\vec{OL}) \cdot \vec{n}=0$

$(\vec{OQ}-s\vec{OA}) \cdot \vec{n}=0$

$\vec{q} \cdot \vec{n}=s\vec{a} \cdot \vec{n}$

$同様にして$

$\vec{MQ} \perp \vec{n} \ \ より \quad \vec{MQ} \cdot \vec{n}=0$

$(\vec{OQ}-\vec{OM}) \cdot \vec{n}=0$

$(\vec{OQ}-t\vec{OB}) \cdot \vec{n}=0$

$\vec{q} \cdot \vec{n}=t\vec{b} \cdot \vec{n}$

$\vec{NQ} \perp \vec{n} \ \ より \quad \vec{NQ} \cdot \vec{n}=0$

$(\vec{OQ}-\vec{ON}) \cdot \vec{n}=0$

$(\vec{OQ}-u\vec{OC}) \cdot \vec{n}=0$

$\vec{q} \cdot \vec{n}=u\vec{c} \cdot \vec{n}$

$よって \quad s=\dfrac{\vec{q} \cdot \vec{n}}{\vec{a} \cdot \vec{n}},\quad t=\dfrac{\vec{q} \cdot \vec{n}}{\vec{b} \cdot \vec{n}},\quad u=\dfrac{\vec{q} \cdot \vec{n}}{\vec{c} \cdot \vec{n}}$

$\dfrac{1}{s}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{u}=4\ \ に代入して$

$\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{n}}{\vec{q} \cdot \vec{n}}+\dfrac{2\vec{b} \cdot \vec{n}}{\vec{q} \cdot \vec{n}}+\dfrac{3\vec{c} \cdot \vec{n}}{\vec{q} \cdot \vec{n}}=4$

$4\vec{q} \cdot \vec{n}=\vec{a} \cdot \vec{n} +2\vec{b} \cdot \vec{n}+ 3\vec{c} \cdot \vec{n} $

$(4\vec{q} -\vec{a}-2\vec{b}- 3\vec{c}) \cdot \vec{n}=0 $

$これが常に成りたつ条件は \quad 4\vec{q} -\vec{a}-2\vec{b}- 3\vec{c} =\vec{0} \quad のときであるから $

$\vec{q} =\dfrac{\vec{a}+2\vec{b}+ 3\vec{c}}{4}$

$この \ \ \vec{q}\ \ は s,\ t,\ u\ の値に関係なく、与えられた \ \vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c} \ \ でただ一つ定まるから$

$一定な点P\ そのものである。$

$よって \ \ 点P\ は \ \ \vec{OP} =\dfrac{\vec{OA}+2\vec{OB}+ 3\vec{OC}}{4} \ \ を満たす点である。$

$なお、このような \ \vec{OP}\ は与えられた \ \vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c} \ \ でただ一つ定まる。$


(2)

　

$直線OP\ と平面ABC\ の交点を \ H\ とすると$

$\vec{AH}=\alpha \vec{AB}+\beta \vec{AC}\ \ を満たす実数 \ \alpha,\ \ \beta \ が存在するから$

$\vec{OH}-\vec{OA}=\alpha (\vec{OB}-\vec{OA})+\beta (\vec{OC}-\vec{OA})$

$\vec{OH}=(1-\alpha -\beta)\vec{OA}+\alpha \vec{OB}+\beta \vec{OC}$

$また \quad \vec{OH}=k\vec{OP}\quad を満たす実数 \ k\ が存在するから$

$\vec{OH}=k\big(\dfrac{\vec{OA}+2\vec{OB}+ 3\vec{OC}}{4}\big)$

$したがって$

$\vec{OH}=(1-\alpha -\beta)\vec{OA}+\alpha \vec{OB}+\beta \vec{OC}=k\big(\dfrac{\vec{OA}+2\vec{OB}+ 3\vec{OC}}{4}\big)$

$4\ 点O,\ A,\ B,\ C\ は同一平面上にないから$

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} 1-\alpha -\beta=\dfrac{k}{4} \hspace{5em}①\\ \alpha =\dfrac{k}{2} \hspace{8.5em}②\\ \beta =\dfrac{3k}{4} \hspace{8em}③\\ \end{array} \right. \]
$②,③を①に代入して$

$1-\dfrac{k}{2}-\dfrac{3k}{4}=\dfrac{k}{4}\quad これを解いて \quad k=\dfrac{2}{3}$

$\vec{OH}=\dfrac{2}{3}\vec{OP} \quad だから \quad OH:PH=\dfrac{2}{3}:(1-\dfrac{2}{3})=2:1$

　

$2\ 点O,\ P\ から平面ABC\ に下ろした垂線をそれぞれ$

$OI,\ PJ \ とすると \quad OI /\!/ PJ $

$平行な \ 2\ 直線で平面OIPJ \ が定まるから \ 3\ 点H,\ I,\ J\ は$

$平面ABC \ 上にも平面OIPJ\ にもある。$

$一般に、2\ 平面の交わりは直線だから、3点H,\ I,\ J\ は一直線上$

$にある。$

$\triangle OIH \sim \triangle PJH \quad だから$

$OI:PJ=OH:PH=2:1$

$四面体PABC\ の体積を \ V'\ とすると$

$V:V'=OI:PJ=2:1 \quad だから \quad V'=\dfrac{V}{2}$


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