京都大学(理系) 2025年 問題1-1
$i\ は虚数単位とする。複素数 \ z\ が、絶対値が \ 2\ である複素数全体を動くとき、\big|z-\dfrac{i}{z}\big|\ \ の最大値と$
$最小値を求めよ。$
$z=x+yi \ \ (x,\ y\ は実数)\ \ とおくと \ z\ は絶対値が \ 2\ である複素数全体を動くから \quad x^2+y^2=4$
$このとき$
\begin{eqnarray*} & &\big|z-\dfrac{i}{z}\big|^2\\ \\ &=&\big|x+yi-\dfrac{i}{x+yi}\big|^2\\ \\ &=&\big|x+yi-\dfrac{i(x-yi)}{x^2+y^2}\big|^2\\ \\ &=&\big|x+yi-\dfrac{i(x-yi)}{4}\big|^2\\ \\ &=&\big|x-\dfrac{y}{4} +i(y-\dfrac{x}{4})\big|^2\\ \\ &=&\big(x-\dfrac{y}{4}\big)^2+ \big(y-\dfrac{x}{4}\big)^2\\ \\ &=&x^2+y^2+\dfrac{1}{16}(x^2+y^2)-xy\\ \\ &=&4+\dfrac{1}{4}-xy\\ \\ &=&\dfrac{17}{4}-xy \end{eqnarray*} $ここで、x^2+y^2=4 \ \ を \quad x=2\cos t ,\ \ y=2\sin t\ \ (0 \leqq t <2\pi)\ \ と媒介変数表示すると$
$\dfrac{17}{4}-xy=\dfrac{17}{4} -4\cos t \sin t=\dfrac{17}{4}-2\sin 2t$
$よって \quad \big|z-\dfrac{i}{z}\big| \ \ の$
(i)$\ \ 最大値$
$\quad \sin 2t=-1 \ \ のとき \quad \sqrt{\dfrac{17}{4} +2}=\sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac{5}{2} \quad をとる。$
$\quad 0 \leqq 2t <4\pi \quad だから \quad 2t=\dfrac{3}{2}\pi,\quad \dfrac{7}{2}\pi \ \ より \quad t=\dfrac{3}{4}\pi,\quad \dfrac{7}{4}\pi$
$\quad このとき$
$\quad \cos \dfrac{3}{4}\pi=-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\quad \sin \dfrac{3}{4}\pi=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \ \ より \quad z=2(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i)=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i$
$\quad \cos \dfrac{7}{4}\pi=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\quad \sin \dfrac{7}{4}\pi=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \ \ より \quad z=2(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i)=\sqrt{2}-\sqrt{2}i$
(ii)$\ \ 最小値$
$\quad \sin 2t=1 \ \ のとき \quad \sqrt{\dfrac{17}{4} -2}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2} \quad をとる。$
$\quad 0 \leqq 2t <4\pi \quad だから \quad 2t=\dfrac{\pi}{2},\quad \dfrac{5}{2}\pi \ \ より \quad t=\dfrac{\pi}{4},\quad \dfrac{5}{4}\pi$
$\quad このとき$
$\quad \cos \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\quad \sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \ \ より \quad z=2(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i)=\sqrt{2}+\sqrt{2}i$
$\quad \cos \dfrac{5}{4}\pi=-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\quad \sin \dfrac{5}{4}\pi=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \ \ より \quad z=2(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i)=-\sqrt{2}-\sqrt{2}i$
$(別解)$
$z\ は絶対値が \ 2\ だから 極形式で、z=2(\cos \theta +i\sin \theta) \ \ (0 \leqq \theta <2\pi)\ \ とおける。$
\begin{eqnarray*} & &\big|z-\dfrac{i}{z}\big|^2\\ \\ &=&\big|2(\cos \theta +i\sin \theta)-\dfrac{i}{2(\cos \theta +i\sin \theta)}\big|^2\\ \\ &=&\big|2(\cos \theta +i\sin \theta)-\dfrac{i(\cos \theta -i\sin \theta)}{2}\big|^2\\ \\ &=&\big|(2\cos \theta -\dfrac{\sin \theta}{2})+i(2\sin \theta -\dfrac{\cos \theta}{2}\big|^2\\ \\ &=&\big(2\cos \theta -\dfrac{\sin \theta}{2}\big)^2 +\big(2\sin \theta -\dfrac{\cos \theta}{2}\big )^2\\ \\ &=&\big(4\cos ^2\theta -2\sin \theta \cos \theta +\dfrac{\sin ^2\theta}{4}\big) +\big(4\sin ^2\theta -2\sin \theta \cos \theta +\dfrac{\cos ^2\theta}{4}\big )\\ \\ &=&4+\dfrac{1}{4} -4\sin \theta \cos \theta \\ \\ &=&\dfrac{17}{4} -2\sin 2\theta \\ \end{eqnarray*} $解答と同じ式がえられましたので、以下同じです$
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