京都大学(理系) 2023年 問題4
$次の関数 \ f(x)\ の最大値と最小値を求めよ。$
$\qquad f(x)=e^{-x^2}+\cfrac{1}{4}x^2+1 +\cfrac{1}{e^{-x^2}+\cfrac{1}{4}x^2+1} \quad (-1 \leqq x \leqq 1)$
$ただし、e\ は自然対数の底であり、その値は \ \ e=2.71 \ \cdots \ \ である。$
$t(x)=e^{-x^2}+\cfrac{1}{4}x^2+1 \quad とおくと$
$t'(x)=-2xe^{-x^2}+\cfrac{1}{2}x$
$t''(x)=-2e^{-x^2}+4x^2e^{-x^2}+\cfrac{1}{2}$
$t'''(x)=4xe^{-x^2}+8xe^{-x^2}-8x^3e^{-x^2}=4x(3-2x^2)e^{-x^2}$
$-1 \leqq x \leqq 1 \quad だから \quad 3-2x^2 >0 \qquad t'''(x)=0 \quad より \quad x=0$
\[ \quad \begin{array}{c||c|c|c} x & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 \\ \hline t''' (x)& & - & 0 & + & \\ \hline t''(x) & & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \end{array} \]
$t''(x)\ は連続関数で、区間 \ [0,1]\ で単調増加だから、中間値の定理より$
$t''(\alpha)=0 \ となる \ \alpha \ が \ (0,\ 1)\ に \ 1\ つ存在する。$
$また、t'' (x)\ は偶関数だから \ \ t''(-\alpha)=0 \ \ となる \ -\alpha \ が$
$区間 \ (-1,\ 0)\ に \ 1\ つ存在する。$
$t''(x)\ のグラフは右のとおりで、これより \ t'(x)\ の増減は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c} x & -1 & \cdots & -\alpha & \cdots & \alpha & \cdots & 1 \\ \hline t'' (x)& & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline t'(x) & & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \end{array} \]
$t'(x)\ は連続関数で奇関数だから \ t'(x)\ のグラフは右のとおりで、$
$これより \ t(x)\ の増減は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c} x & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 \\ \hline t' (x)& & + & 0 & - & \\ \hline t(x) & & \nearrow & 極大 & \searrow & \\ \end{array} \]
$t(x)\ は連続関数で偶関数だから \ t(x)\ のグラフは右のとおりで$
$\cfrac{5}{4}+e^{-1} \leqq t(x) \leqq 2$
$t(x)\ を単に \ t\ とかくことにし、g(t)=t+\cfrac{1}{t} \quad とおくと$
$g'(t)=1-\cfrac{1}{t^2}=\cfrac{t^2-1}{t^2} \qquad g'(t)=0 \quad より \quad t=1$
$これより \ g(t)\ の増減は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c} t & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline g' (t)& - & 0 & + & \\ \hline g(t) & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \end{array} \]
$t=\cfrac{5}{4}+e^{-1}\ で最小となり、最小値は \ \ \cfrac{5}{4}+e^{-1}+\cfrac{1}{\dfrac{5}{4}+e^{-1}}=\cfrac{5e+4}{4e}+\cfrac{4e}{5e+4}$
$t=2\ で最大となり、最大値は \ \ 2+\cfrac{1}{2}=\cfrac{5}{2}$
$f(x)\ は\ g(t)\ だから$
$f(x)\ の最小値は \ \ \cfrac{5e+4}{4e}+\cfrac{4e}{5e+4},\quad 最大値は \ \ \cfrac{5}{2}$
$なお、参考までに \ f(x)\ のグラフは右のとおりです。$
メインメニュー に戻る