京都大学(理系) 2023年 問題2
$空間内の \ 4\ 点 \ O,\ A,\ B,\ C\ は同一平面上にないとする。点 \ D,\ P,\ Q\ を次のように定める。点 \ D\ は$
$\vec{OD}=\vec{OA}+2\vec{OB}+3\vec{OC}\ \ を満たし、点 \ P\ は線分 \ OA\ を \ 1:2\ に内分し、点 \ Q\ は線分 \ OB\ の中点である。$
$さらに、直線 \ OD\ 上の点 \ R\ を直線 \ QR\ と直線 \ PC\ が交点を持つように定める。このとき、線分 \ OR\ の$
$長さと線分RDの長さの比 \ OR:RD \ を求めよ。$
$\vec{OA}=\vec{a},\ \ \vec{OB}=\vec{b},\ \ \vec{OC}=\vec{c} \quad とおく。$
$\vec{OD}=\vec{OA}+2\vec{OB}+3\vec{OC}=\vec{a}+ 2\vec{b}+3\vec{c}$
$点 \ P\ は線分 \ OA\ を \ 1:2\ に内分する点だから \quad \vec{OP}=\cfrac{1}{3}\vec{a}$
$点 \ Q\ は線分 \ OB\ の中点だから \quad \vec{OQ}=\cfrac{1}{2}\vec{b}$
$点 \ R\ は直線 \ OD\ 上の点で、OD\ を \ m:(1-m)\ の比に分ける点とすると$
$\vec{OR}=m\vec{OD}=m\vec{a}+ 2m\vec{b}+3m\vec{c}$
$直線 \ QR\ と直線 \ PC\ の交点を \ S\ とすると$
$\vec{QS}=k\vec{QR}\ \ (k\ は実数)\ とおけるから \quad \vec{OS}-\vec{OQ}=k(\vec{OR}-\vec{OQ})$
$\quad \vec{OS}=k\vec{OR} +(1-k)\vec{OQ}=k(m\vec{a}+ 2m\vec{b}+3m\vec{c})+(1-k) \times \cfrac{1}{2}\vec{b}=km\vec{a}+(2km+\cfrac{1-k}{2})\vec{b}+3km\vec{c}$
$また、\vec{PS}=l\vec{PC}\ \ (l\ は実数)\ とおけるから \quad \vec{OS}-\vec{OP}=l(\vec{OC}-\vec{OP})$
$\quad \vec{OS}=l\vec{OC} +(1-l)\vec{OP}=l\vec{C} +(1-l) \times \cfrac{1}{3}\vec{a}=\cfrac{1-l}{3}\vec{a}+ l\vec{C}$
$したがって$
$\vec{OS}=km\vec{a}+(2km+\cfrac{1-k}{2})\vec{b}+3km\vec{c}=\cfrac{1-l}{3}\vec{a}+ l\vec{c}$
$点 \ O,\ A,\ B,\ C\ は同一平面上にないから$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} km= \cfrac{1-l}{3} \hspace{8em}(1)\\ 2km+\cfrac{1-k}{2}=0 \ \hspace{5em}(2)\\ 3km =l \ \hspace{9em}(3)\\ \end{array} \right. \]
$(1),(3)より \quad 1-l=l \qquad \therefore \ \ l=\cfrac{1}{2}$
$これを(3)に代入して \quad km=\cfrac{1}{6} \hspace{5em}(4)$
$これを(2)に代入して \quad \cfrac{1}{3}+\cfrac{1-k}{2}=0 \qquad \therefore \ \ k=\cfrac{5}{3}$
$これを(4)に代入して \quad m=\cfrac{1}{10}$
$よって \quad OR:RD=\cfrac{1}{10}:\cfrac{9}{10}=1:9$
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