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京都大学(理系) 2022年　問題5

$曲線 \ C:y=\cos ^3x\ \ (0 \leqq x \leqq \cfrac{\pi}{2})\ ,x\ 軸および \ y\ 軸で囲まれる図形の面積をSとする。0 < t < \cfrac{\pi}{2}\ \ とし、C\ 上の$
$点 \ Q(t,\ \cos ^3t)\ と原点 \ O,および \ P(t,\ 0),\ R(0,\ \cos ^3t)\ を頂点にもつ長方形 \ OPQRの面積を \ f(t)\ とする。$
$このとき、次の各問に答えよ。$
$(1)\ \ S\ を求めよ。$
$(2)\ \ f(t)\ は最大値をただ \ 1\ つの \ t\ でとることを示せ。そのときの \ t\ を\alpha \ とすると、f(\alpha)=\cfrac{\cos ^4\alpha}{3\sin \alpha}$
$\quad であることを示せ。$
$(3)\ \ \cfrac{f(\alpha)}{S} < \cfrac{9}{16} \ \ を示せ。$

(1)

　
\begin{eqnarray*} S &=&\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}\cos ^3xdx\\ \\ &=&\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}\cos x\cdot \cos ^2x dx\\ \\ &=&\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}\cos x (1-\sin ^2x) dx\\ \end{eqnarray*} \[ \qquad \sin x=u \quad とおくと \quad 　\cos x dx=du \hspace{3em} \begin{array}{c|c} x & \ 0 \rightarrow \scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}\\ \hline u & \ 0 \rightarrow 1 \\ \end{array} \] \[S=\int_0^1 (1-u^2)du =\big[u-\cfrac{u^3}{3}\big]_0^1 =\cfrac{2}{3}\]
$(別解)$

$3\ 倍角の公式をつかって \quad \cos ^3x=\cfrac{1}{4}(\cos 3x +3\cos x) \quad だから$
\[S=\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}\cos ^3xdx =\cfrac{1}{4} \int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}(\cos 3x +3\cos x)dx =\cfrac{1}{4} \big[\cfrac{\sin 3x}{3} +3\sin x\big]_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}=\cfrac{1}{4} \big(-\cfrac{1}{3} +3\big)=\cfrac{2}{3}\]

(2)

　
$f(t)=t\cos ^3t \quad だから $

$f'(t)=\cos ^3t -3t\cos ^2t \sin t=\cos ^2t(\cos t -3t\sin t)$

$g(t)=\cos t -3t\sin t \quad とおくと$

$g'(t)=-\sin t-3\sin t-3t\cos t=-(4\sin t+3t\cos t)$

$0 < t < \cfrac{\pi}{2} \quad で \quad g'(t) < 0 \quad よって \quad g(t)\ はこの区間で単調減少する。$

$また、g(0)=1,\quad g(\cfrac{\pi}{2})=-\cfrac{3\pi}{2} < 0 $

$よって、中間値の定理から \quad g(t)=0 \ \ となる \ \ t=\alpha \ が \ (0,\ \cfrac{\pi}{2})\ に存在し、$
$しかも \ g(t)\ は単調減少だから \ \alpha \ はただ \ 1\ つである。$

\[ f(t)\ の増減表は \quad f'(t)=\cos ^2t \cdot g(t) \quad だから \qquad \begin{array}{c||c|c|c|c|c} \hline t& 0 & \cdots & \alpha & \cdots & \dfrac{\pi}{2}\\ \hline f'(t)& & + & 0 & - & \\ \hline f(t)& & \nearrow & 極大 & \searrow & \\ \hline \end{array} \]
$f(t)\ は \ \ t=\alpha \ \ で極大かつ最大となる。$

$g(\alpha)=0 \quad より \quad \cos \alpha -3\alpha \sin \alpha =0 \qquad \therefore \ \ \alpha =\cfrac{\cos \alpha}{3\sin \alpha}$

$よって \quad f(\alpha)=\alpha \cos ^3\alpha=\cfrac{\cos \alpha}{3\sin \alpha} \times \cos ^3\alpha=\cfrac{\cos ^4\alpha}{3\sin \alpha}$

(3)

　
$\quad g(\cfrac{\pi}{6})=\cos \cfrac{\pi}{6}- \cfrac{\pi}{2}\sin \cfrac{\pi}{6}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}-\cfrac{\pi}{4}=\cfrac{2\sqrt{3}-\pi}{4}>0$

$\quad g(\cfrac{\pi}{4})=\cos \cfrac{\pi}{4}- \cfrac{3\pi}{4}\sin \cfrac{\pi}{4}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}(1-\cfrac{3\pi}{4})=\cfrac{\sqrt{2}}{8}(4-3\pi)<0$

$よって、中間値の定理から \quad \cfrac{\pi}{6} < \alpha < \cfrac{\pi}{4}$

$\cos \cfrac{\pi}{4} < \cos \alpha < \cos \cfrac{\pi}{6} \quad より \qquad \cfrac{1}{\sqrt{2}} < \cos \alpha < \cfrac{\sqrt{3}}{2} \qquad \cfrac{1}{4} < \cos ^4 \alpha < \cfrac{9}{16}$

$\sin \cfrac{\pi}{6} < \sin \alpha < \sin \cfrac{\pi}{4} \quad より \qquad \cfrac{1}{2} < \sin \alpha < \cfrac{1}{\sqrt{2}} \qquad \sqrt{2} < \cfrac{1}{\sin \alpha } < 2$

$したがって　\cfrac{\sqrt{2}}{4} < \cfrac{\cos ^4 \alpha}{\sin \alpha} < \cfrac{9}{8}$

$\cfrac{f(\alpha)}{S}=\cfrac{\cos ^4 \alpha}{3\sin \alpha} \times \cfrac{3}{2} =\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{\cos ^4 \alpha}{\sin \alpha}<\cfrac{1}{2} \times \cfrac{9}{8}=\cfrac{9}{16}$

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