京都大学(理系) 2022年 問題3
$n\ を自然数とする。3\ つの整数 \ \ n^2+2,\ \ n^4+2,\ \ n^6+2\ \ の最大公約数 \ A_n \ を求めよ。$
$(解説)$
$整式としてではなく \ n\ の個々の値について最大公約数を求める問題です。$
$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\ \ と代入して \ A_n \ を求めると様子がわかると思います。$
$この問題を解くには最大公約数についての次の \ 2\ つの定理をつかいます。$
$(1)\ \ ユークリッドの互除法$
$\quad 自然数 \ a,\ b\ (a > b)\ に対し、a\ を \ b\ で割った余りを \ r\ とすると \ a,\ b \ の最大公約数 \ (a,\ b)\ について$
$\hspace{3em} (a,\ b)=(b,\ r)$
$(2)\ \ 3\ 数の最大公約数$
$\quad 自然数 \ a,\ b,\ c\ に対して \quad (a,\ b,\ c)=((a,\ b),\ c)=(a,\ (b,\ c))$
$これらの証明は($最大公約数の性質$)をご覧ください。$
$N_1=n^2+2,\ \ N_2=n^4+2,\ \ N_3=n^6+2 \quad とおく。$
$N_2\ を \ N_1\ で割ると \quad N_2=(n^2-2)N_1+6 \quad だから \quad (N_1,\ N_2)=(N_1,\ 6)$
$N_3\ を \ N_1\ で割ると \quad N_3=(n^4-2n^2)N_1+4n^2+2 \quad だから \quad (N_1,\ N_3)=(N_1,\ 4n^2+2)$
$したがって$
$\quad (N_1,\ N_2,\ N_3)=((N_1,\ N_2),\ N_3)=((N_1,\ 6),\ N_3)=(6,\ (N_1,\ N_3))=(6,\ (N_1,\ 4n^2+2))=(6,\ n^2+2,\ 4n^2+2)$
$この後は、自然数 \ n\ を \ 6\ で割った余りで類別して(分けて)調べます。$
(i)$\ \ k=6k \quad のとき$
$\quad n^2+2=(6k)^2+2=2(18k^2+1)$
$\quad 4n^2+2=4(6k)^2+2=2(72k^2+1)$
$\quad したがって \quad A_n=(6,2(18k^2+1),2(72k^2+1)=2$
(ii)$\ \ n=6k \pm 1 \quad のとき$
$\quad n^2+2=(6k \pm 1)^2+2=3(12k^2 \pm 4k +1)$
$\quad 4n^2+2=4(6k \pm 1)^2+2=6(24k^2 \pm 8k +1)$
$\quad したがって \quad A_n=(6, \ 3(12k^2 \pm 4k +1), \ 6(24k^2 \pm 8k +1))=3$
(iii)$\ \ k=6k \pm 2 \quad のとき$
$\quad n^2+2=(6k \pm 2)^2+2=6(6k^2 \pm 4k +1)$
$\quad 4n^2+2=4(6k \pm 2)^2+2=6(24k^2 \pm 16k +3)$
$\quad したがって \quad A_n=(6,\ 6(6k^2 \pm 4k +1), \ 6(24k^2 \pm 16k +3))=6$
(iv)$\ \ k=6k \pm 3 \quad のとき$
$\quad n^2+2=(6k \pm 3)^2+2=36k^2 \pm 36k +11$
$\quad 4n^2+2=4(6k \pm 3)^2+2=2(72k^2 \pm 72k +19)$
$\quad したがって \quad A_n=(6,\ 36k^2 \pm 36k +11, \ 2(72k^2 \pm 72k +19))=1$
$以上より$
\[ \hspace{1em} A_n= \left\{ \begin{array}{l} 3 \hspace{2em} n=6k \pm 1 \ \ (1,5,7,11,13,17,\cdots)\ \ のとき\\ 6 \hspace{2em} n=6k \pm 2 \ \ (2,4,8,10,14,16,\cdots) \ \ のとき\\ 1 \hspace{2em} n=6k \pm 3 \ \ (3,9,15,\cdots) \ \ のとき\\ 2 \hspace{2em} n=6k \ \ (6,12,18,\cdots) \ \ のとき\\ \end{array} \right. \]
メインメニュー に戻る