京都大学(理系) 2022年 問題2
$箱の中に \ 1から \ n\ までの番号がついた \ n\ 枚の札がある。ただし \ \ n \geqq 5\ \ とし、同じ番号の札はないとする。$
$この箱から \ 3\ 枚の札を同時に取り出し、札の番号を小さい順に \ X,\ Y,\ Z とする。このとき、Y-X \geqq 2$
$かつ \ \ Z-Y \geqq 2 \ \ となる確率を求めよ。$
$(解説)$
$X\ に対して、2\ 以上離れた \ Y\ が決まり、この \ Y\ に対してさらに \ 2\ 以上離れた \ Z\ が決まります。$
$そこで、X=k\ に対して、Y,\ Z\ のとれる個数を \ k\ で表します。$
$箱から \ 3\ 枚の札を同時に取り出し、番号の小さい順に並べる全事象の個数 \ N\ は$
$\quad N={}_nC _3=\cfrac{n(n-1)(n-2)}{3!}=\cfrac{1}{6}n(n-1)(n-2) $
$札の番号を小さい順に \ X,\ Y,\ Z\ と並べたとき、Y-X \geqq 2 かつ \ \ Z-Y \geqq 2 \ \ となる事象をAとする。$
$X=k \ \ (k=1,\ 2,\ \cdots ,\ n-4) \ \ とすると$
$\quad Y=k+2 \quad のとき \quad Z=k+4,\ k+5,\ \cdots ,\ n \ \ の \quad n-k-3 \ \ 通り$
$\quad Y=k+3 \quad のとき \quad Z=k+5,\ k+6,\ \cdots ,\ n \ \ の \quad n-k-4 \ \ 通り$
$\hspace{4em} \vdots$
$\quad Y=n-2 \quad のとき \quad Z=n \ \ の \hspace{13em} 1 \ \ 通り$
$\quad 合計 \quad 1+2+ \cdots (n-k-3)=\cfrac{1}{2}(n-k-3)(n-k-2)\ \ 通り$
$したがって 全部の和 \ n(A)\ は$
\begin{eqnarray*} n(A) &=&\sum_{k=1}^{n-4} \cfrac{1}{2}(n-k-3)(n-k-2)\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-4}(k-(n-3))(k-(n-2))\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-4}\big(k^2-(2n-5)k+(n-2)(n-3)\big)\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\big\{\cfrac{1}{6}(n-4)(n-3)(2(n-4)+1)-\small{\cfrac{2n-5}{2}}\normalsize{(n-4)(n-3)} +(n-2)(n-3)(n-4)\big\}\\ \\ &=&\cfrac{1}{12}(n-3)(n-4)\big\{ (2n-7)-3(2n-5)+6(n-2)\big\}\\ \\ &=&\cfrac{1}{12}(n-3)(n-4)(2n-4)\\ \\ &=&\cfrac{1}{6}(n-2)(n-3)(n-4)\\ \end{eqnarray*} $よって、求める確率は \quad P=\cfrac{n(A)}{N}=\cfrac{\dfrac{1}{6}(n-2)(n-3)(n-4)}{\dfrac{1}{6}n(n-1))(n-2)}=\cfrac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)} $
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