京都大学(理系) 2022年 問題1
$5.4 < \log _4 2022 < 5.5 \ \ であることを示せ。ただし、0.301 < \log_{10} 2 < 0.3011 \ \ であることは用いてよい。$
$(解説)$
$底は \ e\ に変換します。2022\ をどう処理するかがポイントです。$
$5.5\ はすぐにでますが、5.4\ をどのように押さえるかが次のポイントになります。$
(i)$\ \ 2022=2048-26=2^{11}-26=2^{11}(1-\cfrac{26}{2^{11}})=2^{11}(1-\cfrac{13}{2^{10}})$
(ii)$\ \ a=\log _4 2022=\cfrac{\log 2022}{\log 4}=\cfrac{\log 2^{11}(1-\cfrac{13}{2^{10}})}{2\log 2} =\cfrac{11\log 2 +\log (1-\cfrac{13}{2^{10}})}{2\log 2}=\cfrac{11}{2}+\cfrac{1}{2\log 2}\log (1-\cfrac{13}{2^{10}})$
(iii)$\ \ \log (1-\cfrac{13}{2^{10}})< 0 \quad だから \quad a < \cfrac{11}{2}=5.5$
(iv)$ \ \ 0 < h < 1 \quad として平均値の定理 \quad \cfrac{f(1)-f(1-h)}{1-(1-h)}=f'(c) \ \ (1-h < c <1) \quad において$
$\qquad f(1-h)=f(1)-hf'(c)$
$\qquad f(x)=\log x \quad とおくと \quad f'(x)=\cfrac{1}{x} \quad だから$
$\qquad \log (1-h)=\log 1 - \cfrac{h}{c}$
$\qquad \cfrac{1}{c}=-\cfrac{\log (1-h)}{h}$
$\qquad 1-h < c < 1 \quad だから \quad 1 < \cfrac{1}{c} < \cfrac{1}{1-h} \quad に代入して$
$\qquad 1 < -\cfrac{\log (1-h)}{h} < \cfrac{1}{1-h} $
$\qquad \cfrac{-h}{1-h} < \log (1-h) < -h $
(v)$\ \ h=\cfrac{13}{2^{10}} \quad とおくと$
$\qquad \log (1-\cfrac{13}{2^{10}}) > \cfrac{-\dfrac{13}{2^{10}}}{1-\dfrac{13}{2^{10}}}=-\cfrac{13}{2^{10}-13}=-\cfrac{13}{1011}> -\cfrac{13}{1000}=-0.013$
(vi)$\ \ \log _e 2 > \log _{10}2, \quad \log (1-h) <0 \quad だから$
$\qquad a=\cfrac{11}{2}+\cfrac{1}{2\log 2}\log (1-\cfrac{13}{2^{10}})>\cfrac{11}{2}+\cfrac{1}{2\log _{10}2}\log (1-\cfrac{13}{2^{10}}) > 5.5-\cfrac{0.013}{2 \times 0.301}=5.478$
$よって \qquad 5.4 < \log _4 2022 < 5.5$
$なお、電卓で計算すると \quad \log _4 2022=5.491 \quad です。$
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