京都大学(理系) 2020年 問題3
$kを正の実数とする。座標空間において、原点Oを中心とする半径1の球面上の4点A,B,C,Dが次の関係式を$
$満たしている。$
$\qquad \vec{OA}\cdot \vec{OB}=\vec{OC}\cdot \vec{OD}=\cfrac{1}{2},\quad \vec{OA}\cdot \vec{OC}=\vec{OB}\cdot \vec{OC}=-\cfrac{\sqrt{6}}{4},\quad \vec{OA}\cdot \vec{OD}=\vec{OB}\cdot \vec{OD}=k$
$このとき、kの値を求めよ。ただし、座標空間の点X,Yに対して、\vec{OX}\cdot \vec{OY}は、\vec{OX}と \vec{OY}の内積を表す。$
$(解説)$
$問題はいたってシンプルですが、逆に解答はややこしい。$
$内積を前面に出した解答と成分表示で求めた別解を示します。$
$まず、3点A,\ B,\ C\ は同一平面上にないことを示します。$
$そのために、\vec{OA},\ \vec{OB},\ \vec{OC}\ が一次独立であることを示します。$
$点A,B,C,Dは原点Oを中心とする半径1の球面上の点だから |\vec{OA}|=|\vec{OB}|=|\vec{OC}|=|\vec{OD}|=1$
$\qquad l\vec{OA}+m\vec{OB}+n\vec{OC}=\vec{0} \quad とすると$
(i)$\ \ \vec{OA}との内積をとって$
$\qquad l\vec{OA}\cdot \vec{OA}+m\vec{OA} \cdot \vec{OB}+n\vec{OA} \cdot \vec{OC}=0$
$\qquad l+\cfrac{1}{2}m-\cfrac{\sqrt{6}}{4}n=0 \hspace{10em}(1)$
(ii)$\ \ \vec{OB}との内積をとって$
$\qquad l\vec{OB}\cdot \vec{OA}+m\vec{OB} \cdot \vec{OB}+n\vec{OB} \cdot \vec{OC}=0$
$\qquad \cfrac{1}{2}l+m-\cfrac{\sqrt{6}}{4}n=0 \hspace{10em}(2)$
(iii)$\ \ \vec{OC}との内積をとって$
$\qquad l\vec{OC}\cdot \vec{OA}+m\vec{OC} \cdot \vec{OB}+n\vec{OC} \cdot \vec{OC}=0$
$\qquad -\cfrac{\sqrt{6}}{4}l-\cfrac{\sqrt{6}}{4}m+n=0 \hspace{10em}(3)$
$(1)-(2)より \cfrac{1}{2}l-\cfrac{1}{2}m=0 \quad \therefore m=l$
$(1),(3)に代入して$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} \cfrac{3}{2}l-\cfrac{\sqrt{6}}{4}n=0 \\ -\cfrac{\sqrt{6}}{2}l+n=0 \\ \end{array} \right. \]
$これを解いて \quad l=0,\ \ n=0 \quad より \quad l=m=n=0$
$\quad l\vec{OA}+m\vec{OB}+n\vec{OC}=\vec{0} \quad \longrightarrow \quad l=m=n=0 \quad がいえるから、\vec{OA},\ \ \vec{OB},\ \ \vec{OC}\ \ は一次独立。$
$したがって、空間上の任意のベクトルは \ \ \vec{OA},\ \ \vec{OB},\ \ \vec{OC}\ \ の一次結合で表される。$
$簡単にするため、\vec{OA}=\vec{a},\ \ \vec{OB}=\vec{b},\ \ \vec{OC}=\vec{c}\ \ とおく。$
$\quad \vec{d}=p\vec{a}+q\vec{b}+r\vec{c} \ \ とおけるから$
(i)$\ \ \vec{a}との内積をとって$
$\qquad \vec{a}\cdot \vec{d}=p\vec{a}\cdot \vec{a}+q\vec{a} \cdot \vec{b}+r\vec{a} \cdot \vec{c}$
$\qquad k=p+\cfrac{1}{2}q-\cfrac{\sqrt{6}}{4}r \hspace{10em}(4)$
(ii)$\ \ \vec{b}との内積をとって$
$\qquad \vec{b}\cdot \vec{d}=p\vec{b}\cdot \vec{a}+q\vec{b} \cdot \vec{b}+r\vec{b} \cdot \vec{c}$
$\qquad k=\cfrac{1}{2}p+q-\cfrac{\sqrt{6}}{4}r \hspace{10em}(5)$
(iii)$\ \ \vec{c}との内積をとって$
$\qquad \vec{c}\cdot \vec{d}=p\vec{c}\cdot \vec{a}+q\vec{c} \cdot \vec{b}+r\vec{c} \cdot \vec{c}$
$\qquad \cfrac{1}{2}=-\cfrac{\sqrt{6}}{4}p -\cfrac{\sqrt{6}}{4}q+r \hspace{10em}(6)$
(iv)$\ \ |\vec{d}|=1 より$
$\qquad |p\vec{a}+q\vec{b}+r\vec{c}|^2=1$
$\qquad p^2|\vec{a}|^2+q^2|\vec{b}|^2+r^2|\vec{c}|^2+2pq\vec{a}\cdot \vec{b}+ 2qr\vec{b}\cdot \vec{c}+ 2rp\vec{c}\cdot \vec{a} =1$
$\qquad p^2+q^2+r^2+pq -\cfrac{\sqrt{6}}{2}qr - \cfrac{\sqrt{6}}{2}rp=1 \hspace{7em}(7)$
$(4)-(5)\ \ より \quad \cfrac{1}{2}p-\cfrac{1}{2}q=0 \qquad \therefore q=p$
$(6)に代入して \quad \cfrac{1}{2}=-\cfrac{\sqrt{6}}{2}p +r \qquad \therefore r=\cfrac{\sqrt{6}}{2}p +\cfrac{1}{2}$
$(7)に代入して$
$\qquad p^2+p^2+(\cfrac{\sqrt{6}}{2}p +\cfrac{1}{2})^2+p^2 -\cfrac{\sqrt{6}}{2}r(p+q)=1$
$\qquad 3p^2+(\cfrac{\sqrt{6}}{2}p +\cfrac{1}{2})^2 -\sqrt{6}(\cfrac{\sqrt{6}}{2}p+\cfrac{1}{2})p=1$
$\qquad p^2=\cfrac{1}{2}$
(i)$\ \ p=\cfrac{1}{\sqrt{2}} \quad のとき$
$\qquad q=\cfrac{1}{\sqrt{2}},\quad r=\cfrac{\sqrt{6}}{2} \times \cfrac{1}{\sqrt{2}}+\cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{1}{2}$
$\qquad (4)に代入して \quad k=\cfrac{3}{2} \times \cfrac{1}{\sqrt{2}} -\cfrac{\sqrt{6}}{4}(\cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{1}{2})=\cfrac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}$
(ii)$\ \ p=-\cfrac{1}{\sqrt{2}} \quad のとき$
$\qquad q=-\cfrac{1}{\sqrt{2}},\quad r=\cfrac{\sqrt{6}}{2} \times (-\cfrac{1}{\sqrt{2}})+\cfrac{1}{2}=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{1}{2}$
$\qquad (4)に代入して \quad k=\cfrac{3}{2} \times (-\cfrac{1}{\sqrt{2}}) -\cfrac{\sqrt{6}}{4}(-\cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{1}{2})=\cfrac{-3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}$
$\qquad k < 0 \quad となり不適$
$以上より \quad k=\cfrac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}$
$もっと簡単に求める方法はないのでしょうか。$
$あります。座標を導入すればよいのです。$
$(別解)$
$点C(1,0,0)とし、xy平面上に点D(d,e,0)をとる。$
$(球面上の点だからうまく回転させれば可能です。)$
$\quad \vec{OC}\cdot \vec{OD}=\cfrac{1}{2} \quad より \quad (1,0,0)\cdot (d,e,0)=\cfrac{1}{2} \qquad \therefore d=\cfrac{1}{2}$
$D(d,e,0)は半径1の球面上の点だから d^2+e^2=1 \qquad e^2=1-\cfrac{1}{4}=\cfrac{3}{4}$
$e=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\ \ のときは、球をx軸のまわりに回転すれば \quad e=\cfrac{\sqrt{3}}{2} \ \ となるから \quad D(\cfrac{1}{2},\cfrac{\sqrt{3}}{2},0)\ \ でかまわない。$
$A(a,b,c),\ \ B(f,g,h)\ \ とおくと$
$\vec{OA}\cdot \vec{OC}=-\cfrac{\sqrt{6}}{4}\ \ より \ \ (a,b,c)\cdot (1,0,0)=-\cfrac{\sqrt{6}}{4} \qquad \therefore a=-\cfrac{\sqrt{6}}{4} \qquad A(-\cfrac{\sqrt{6}}{4} ,b,c)$
$\vec{OB}\cdot \vec{OC}=-\cfrac{\sqrt{6}}{4}\ \ より \ \ (f,g,h)\cdot (1,0,0)=-\cfrac{\sqrt{6}}{4} \qquad \therefore f=-\cfrac{\sqrt{6}}{4} \qquad B(-\cfrac{\sqrt{6}}{4} ,g,h)$
$\vec{OA}\cdot \vec{OD}=\vec{OB}\cdot \vec{OD} \ \ より \ \ (-\cfrac{\sqrt{6}}{4},b,c)\cdot (\cfrac{1}{2},\cfrac{\sqrt{3}}{2},0) = (-\cfrac{\sqrt{6}}{4},g,h) \cdot (\cfrac{1}{2},\cfrac{\sqrt{3}}{2},0)$
$\qquad -\cfrac{\sqrt{6}}{4} \times \cfrac{1}{2}+\cfrac{\sqrt{3}}{2}b=-\cfrac{\sqrt{6}}{4} \times \cfrac{1}{2}+\cfrac{\sqrt{3}}{2}g \qquad g=b \ \ となって \quad B(-\cfrac{\sqrt{6}}{4} ,b,h)$
$\vec{OA}\cdot \vec{OB}=\cfrac{1}{2}\ \ より \ \ (-\cfrac{\sqrt{6}}{4},b,c)\cdot (-\cfrac{\sqrt{6}}{4},b,h)=\cfrac{1}{2}$
$\hspace{7em} \cfrac{6}{16}+b^2+ch=\cfrac{1}{2} \hspace{8em}(1)$
$|\vec{OA}|=1 \ \ より \ \ \cfrac{6}{16}+b^2+c^2=1 \hspace{10em}(2)$
$|\vec{OB}|=1 \ \ より \ \ \cfrac{6}{16}+b^2+h^2=1 \hspace{10em}(3)$
$(3)-(2)\ \ より \ \ h^2=c^2$
$h=c \ \ ならば、点Aと点Bは一致するから \ \ \vec{OA}\cdot \vec{OB}=|\vec{OA}|^2=1 \ \ となり仮定の \ \ \vec{OA}\cdot \vec{OB}=\cfrac{1}{2}\ \ に矛盾する。$
$よって h=-c$
$(1)に代入して \cfrac{6}{16}+b^2-c^2=\cfrac{1}{2} \hspace{10em}(4)$
$(2)-(4)\ \ より \ \ 2c^2=\cfrac{1}{2} \qquad c^2=\cfrac{1}{4}$
$点A(-\cfrac{\sqrt{6}}{4} ,b,c)\ と \ 点B(-\cfrac{\sqrt{6}}{4} ,b,-c)\ はxy平面に関して対称だから \ c=\cfrac{1}{2} \ \ としてよい。$
$(2)に代入して \quad \cfrac{6}{16}+b^2+\cfrac{1}{4}=1 \qquad b^2=\cfrac{6}{16}$
$したがって A(-\cfrac{\sqrt{6}}{4} ,\pm \cfrac{\sqrt{6}}{4},\cfrac{1}{2}),\quad B(-\cfrac{\sqrt{6}}{4} ,\pm \cfrac{\sqrt{6}}{4},-\cfrac{1}{2})$
$このとき$
$k=\vec{OA}\cdot \vec{OD}=(-\cfrac{\sqrt{6}}{4} ,\pm \cfrac{\sqrt{6}}{4},\cfrac{1}{2}) \cdot (\cfrac{1}{2},\cfrac{\sqrt{3}}{2},0)=-\cfrac{\sqrt{6}}{8} \pm \cfrac{3\sqrt{2}}{8}$
$k=\vec{OB}\cdot \vec{OD}=(-\cfrac{\sqrt{6}}{4} ,\pm \cfrac{\sqrt{6}}{4},-\cfrac{1}{2}) \cdot (\cfrac{1}{2},\cfrac{\sqrt{3}}{2},0)=-\cfrac{\sqrt{6}}{8} \pm \cfrac{3\sqrt{2}}{8}$
$k > 0 \ \ だから \ \ A(-\cfrac{\sqrt{6}}{4} , \cfrac{\sqrt{6}}{4},\cfrac{1}{2}),\quad B(-\cfrac{\sqrt{6}}{4} ,\cfrac{\sqrt{6}}{4},-\cfrac{1}{2})\ \ をとって$
$k=-\cfrac{\sqrt{6}}{8} + \cfrac{3\sqrt{2}}{8}$
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