MY MATH NOTE

京都大学(理系) 2020年　問題1

$a,bは実数で、a > 0 \ \ とする。zに関する方程式 \ \ z^3+3az^2+bz+1=0 \cdots (*)\ \ は3つの相異なる解をもち、$
$それらは複素数平面上で1辺の長さが \ \sqrt{3}a\ の正三角形の頂点となっている。$
$このときa,bと(*)の3つの解を求めよ。$

　
$\gamma =\overline{\beta}　だから　(4)より \quad \alpha \beta \overline{\beta}=-1 \qquad \alpha |\beta|^2=-1 \qquad |\beta|^2>0 \quad だから$

$\qquad \alpha < 0 \hspace{13em}(5)$

$\ \ Re(\beta) < \alpha \quad とすると右図(青い正三角形)のようになり$

$\qquad \beta=\alpha -\cfrac{3a}{2}+\cfrac{\sqrt{3}a}{2}i ,\qquad \gamma =\alpha -\cfrac{3a}{2}-\cfrac{\sqrt{3}a}{2}i$

$これらを(2)に代入して$

$\quad \alpha +(2\alpha -3a)=-3a \qquad \alpha=0 \quad となって(5)に矛盾する。$

　
$したがって　\ Re(\beta) > \alpha \quad で 右図(赤い正三角形)ようになる。$

$\qquad \beta=\alpha +\cfrac{3a}{2}+\cfrac{\sqrt{3}a}{2}i ,\qquad \gamma =\alpha +\cfrac{3a}{2}-\cfrac{\sqrt{3}a}{2}i$

$これらを(2)に代入して$
$\quad \alpha +(2\alpha +3a)=-3a $
$\quad \alpha=-2a \hspace{15em}(6)$

$このとき \quad \beta,\ \ \gamma \ \ は$

$\qquad \beta=-2a +\cfrac{3a}{2}+\cfrac{\sqrt{3}a}{2}i =-\cfrac{a}{2}+\cfrac{\sqrt{3}a}{2}i=a(-\cfrac{1}{2}+\cfrac{\sqrt{3}}{2}i)$

$\qquad \gamma=-2a +\cfrac{3a}{2}-\cfrac{\sqrt{3}a}{2}i =-\cfrac{a}{2}-\cfrac{\sqrt{3}a}{2}i=a(-\cfrac{1}{2}-\cfrac{\sqrt{3}}{2}i)$

$ここで、-\cfrac{1}{2} \pm \cfrac{\sqrt{3}}{2}i \quad は \quad 　x^2+x+1=0 \ \ の解で一方を \ \omega \ とおくと他方は \ \omega ^2 \ となる。$
$また、\omega ^2+\omega +1=0,\qquad \omega ^3=1 \quad である。$

$\omega \ を用いると \quad \beta=a\omega,\quad \gamma=a\omega ^2 \quad と簡単に表現できる。$

$\beta を極形式で表すと \quad \beta =a(-\cfrac{1}{2}+\cfrac{\sqrt{3}}{2}i)=a(\cos 120°＋i\sin 120°) \quad だから$
$\quad \arg \ \beta =120°, \quad \angle OBA=90°\quad となることがわかる。$

　
$\beta の実部が \ -\cfrac{1}{2}\ であることに注意してあらためて書き直した$
$ものが右図である。$

$\alpha ,\ \ \beta,\ \ \gamma \ \ を(4)に代入して$
$\quad (-2a) \cdot a\omega \cdot a\omega ^2=-1 \qquad 2a^3\omega^3=1 \qquad a^3=\cfrac{1}{2} \qquad \therefore a=\cfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$

$(3)に代入して$
\begin{eqnarray*} b &=&\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha\\ &=&(-2a)a\omega + a\omega \cdot a\omega ^2 + a\omega ^2 (-2a)\\ &=&-2a^2(\omega + \omega ^2) + a^2 \omega ^3 \\ &=&-2a^2(-1) + a^2 \\ &=&3a^2\\ &=&\cfrac{3a^3}{a}\\ &=&\cfrac{3}{2a}\\ &=&\cfrac{3\sqrt[3]2}{2} \end{eqnarray*}
$以上より$

$a=\cfrac{1}{\sqrt[3]2},\quad b=\cfrac{3\sqrt[3]2}{2},\quad \alpha =-\cfrac{2}{\sqrt[3]2},\quad \beta=\cfrac{1}{\sqrt[3]2}(-\cfrac{1}{2}+\cfrac{\sqrt{3}}{2}i),\quad \gamma=\cfrac{1}{\sqrt[3]2}(-\cfrac{1}{2}-\cfrac{\sqrt{3}}{2}i)$



$(補足)$

$\alpha ,\beta,\gamma \ \ を(4)に代入して$

$\quad (-2a) \cdot a\omega \cdot a\omega ^2=-1 \quad より \quad 　a=\cfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \ \ を導いたが \ a\ の値がきれいでない。$

$もとの方程式が$

$\qquad z^3+3az^2+bz\ \ $+2$\ =0$

$であれば$

$\qquad \alpha \beta \gamma =-2$

$だから$

$\qquad (-2a) \cdot a\omega \cdot a\omega ^2=-2 \quad より \quad a=1\ \ といい値(?)になるのですが \cdots $

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