京都大学(理系) 2019年　問題6


$i\ は虚数単位とする。\ \ (1+i)^n+(1-i)^n > 10^{10} \ \ を満たす最小の正の整数 \ n\ を求めよ。$


$(解説)$

$左辺が和の形では両辺の対数をとっても身動きできないので、極形式で表します。すると左辺は積の形になります。$
$後は\cos \cfrac{n}{4}\pi\ をnで場合分けすればいいでしょう。$
$常用対数の計算は最近はあまりやられていないようですが、表から \ log _{10}2\ を探します。$

$\qquad 1\pm i=\sqrt{2}\big(\cos (\pm \cfrac{\pi}{4})+ i\sin (\pm \cfrac{\pi}{4})\big) \quad と極形式で表すと$

\begin{eqnarray*} & & (1+i)^n+(1-i)^n\\ &=&\big\{\sqrt{2}\big(\cos \cfrac{\pi}{4}+i\sin \cfrac{\pi}{4}\big)\big\}^n+ \big\{\sqrt{2}\big(\cos (-\cfrac{\pi}{4})+i\sin (-\cfrac{\pi}{4})\big)\big\}^n\\ &=&2^{\small{\cfrac{n}{2}}}\big(\cos \cfrac{n}{4}\pi+i\sin \cfrac{n}{4}\pi\big)+ 2^{\small{\cfrac{n}{2}}}\big(\cos \cfrac{n}{4}\pi-i\sin \cfrac{n}{4}\pi\big)\\ &=&2 \times 2^{\small{\cfrac{n}{2}}}\cos \cfrac{n}{4}\pi\\ &=&2^{1+\small{\cfrac{n}{2}}}\cos \cfrac{n}{4}\pi\\ \end{eqnarray*}

　
$よって$

$(1+i)^n+(1-i)^n > 10^{10} \quad より \quad 2^{1+\small{\cfrac{n}{2}}}\cos \cfrac{n}{4}\pi > 10^{10}$

$\cos \cfrac{n}{4}\pi >0 \ \ となるのは　n \equiv 0 , \ \ 1,\ \ 7 \quad (mod \ \ 8)\ \ のときだから$

$(1)\ \ n \equiv 0 \quad (mod \ \ 8)\ \ のとき$

$\quad \cos \cfrac{n}{4}\pi =1 \quad だから \quad 2^{1+\small{\cfrac{n}{2}}} > 10^{10}$

$両辺底10の常用対数をとって$

$\quad (1+\cfrac{n}{2})\log _{10}2 > 10$

$\quad 1+\cfrac{n}{2} > \cfrac{10}{\log _{10}2}=\cfrac{10}{0.3010}=33.22\cdots $

$\quad \cfrac{n}{2} > 32.22\cdots $

$\quad n>64.44\cdots $

$これを満たす最小の8の倍数は　n=72$


$(2)\ \ n \equiv 1 , \quad n \equiv 7 \quad (mod \ \ 8)\ \ のとき$

$\quad \cos \cfrac{n}{4}\pi =\cfrac{1}{\sqrt{2}}=2^{\small{-\cfrac{1}{2}}} \quad だから \quad 2^{1+\small{\cfrac{n}{2}}} \times 2^{\small{-\cfrac{1}{2}}} > 10^{10}$

$\quad 2^{\small{\cfrac{n+1}{2}}} > 10^{10}$

$両辺底10の常用対数をとって$

$\quad (\cfrac{n+1}{2})\log _{10}2 > 10$

$\quad \cfrac{n+1}{2} > \cfrac{10}{\log _{10}2}=33.22\cdots $

$\quad n > -1+2 \times 33.22\cdots $

$\quad n>65.44\cdots $

$これを満たす最小の \ 8の倍数 \pm 1 \ は　n=71$


$(1),(2)より最小の正の整数は \ \ n=71$



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