MY MATH NOTE

京都大学(理系) 2019年　問題5

$半径 \ 1\ の球面上の5点 \ A,\ B_1,\ B_2,\ B_3,\ B_4\ は、正方形 \ B_1B_2B_3B_4\ を底面とする四角錐をなしている。$
$この5点が球面上を動くとき、四角錐 \ AB_1B_2B_3B_4\ の体積の最大値を求めよ。$

　
$球の中心Oから距離 \ h\ の平面によって切り取られる円の大きさ(半径)は$
$1つに決まる。$
$したがって、この円に内接する正方形は球の中心Oからの距離 \ h\ に$
$よって確定する。$
$正方形の中心(対角線の交点、あるいは切り取られた円の中心といって$
$もよい)をHとすると、$
$四角錐は高さAHが最大のとき体積は最大となる。$
$高さAHは底面に垂直であるから3点 \ A,\ O,\ H\ は一直線上にある。$

$\triangle OB_1H\ は \ OB_1=1,\ OH=h \ \ ( 0 \leqq h \leqq 1)\ \ の直角三角形だから$

$\qquad HB_1=\sqrt{1-h^2}　\quad (円の半径)$

$よって正方形の1辺は　B_1B_2=\sqrt{2}HB_1=\sqrt{2(1-h^2)}$

$高さは \quad AH=AO+OH=1+h$

$したがって、四角錐の体積Vは$

$\quad V=\cfrac{1}{3} \times B_1B_2^{\ \ 2} \times AH=\cfrac{1}{3} \times 2(1-h^2)(1+h)=\cfrac{2}{3}(1+h-h^2-h^3)$

$V'=\cfrac{2}{3}(1-2h-3h^2)=-\cfrac{2}{3}(3h-1)(h+1)$

　
$増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} \hline h& 0& \cdots & \dfrac{1}{3} & \cdots & 1\\ \hline V'& & +& 0& -& \\ \hline V& &\nearrow & 極大 & \searrow & \\ \hline \end{array} \]
$\qquad h=\cfrac{1}{3}\ \ で極大かつ最大$

$したがって、最大値は　V=\cfrac{2}{3} \times (1-\cfrac{1}{9})(1+\cfrac{1}{3})=\cfrac{64}{81}$

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