MY MATH NOTE

京都大学(理系) 2019年　問題3

$鋭角三角形ABCを考え、その面積をSとする。0 < t < 1 \ \ を満たす実数 \ t\ に対し、線分 \ AC\ を \ t:1-t\ に$
$内分する点をQ,線分BQを \ t:1-t\ に内分する点をPとする。実数tがこの範囲を動くときに点Pの描く$
$曲線と、線分BCによって囲まれる部分の面積をSを用いて表せ。$

　
$辺BCをx軸、BCの垂直二等分線をy軸とし、A(a,b),\ B(-c,0)$
$C(c,0)\ とする。$

$AQ:QC=t:1-t \quad より \quad 　Q(a(1-t)+ct,\ b(1-t))$

$P(x,y)\ とおくと \quad BP:PQ=t:1-t \quad より$

$x=t\{a(1-t)+ct\}+(1-t)(-c)=(c-a)t^2+(c+a)t-c$
$y=bt(1-t)=-bt^2+bt$

$したがって、P(x,y)の描く曲線は \ t\ をパラメータとする媒介変数表示で$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} x=(c-a)t^2+(c+a)t-c\\ y=-bt^2+bt\\ \end{array} \right. \] $と表せる。$

$t=0\ のとき \ \ x=-c,\quad t=1 \ \ のとき \ \ x=c \ \ で,\quad \cfrac{dx}{dt}=2(c-a)t+c+a \ \ だから$
$この曲線とx軸で囲まれた部分の面積 \ T\ は$
\begin{eqnarray*} T &=&\int_{-c}^cydx\\ &=&\int_0^1 y \cfrac{dx}{dt}dt\\ &=&\int_0^1(-bt^2+bt)\{2(c-a)t+c+a\}dt\\ &=&\int_0^1 \{-2b(c-a)t^3-b(c+a)t^2+2b(c-a)t^2+b(c+a)t\}dt\\ \\ &=&\cfrac{-2b(c-a)}{4}-\cfrac{b(c+a)}{3}+\cfrac{2b(c-a)}{3}+\cfrac{b(c+a)}{2}\\ &=&\cfrac{bc}{3}\\ \end{eqnarray*} $\triangle ABC の面積Sは \quad S=\cfrac{1}{2} \times 2c \times b=bc \quad だから$

$\qquad T=\cfrac{S}{3}$


$実にすばらしい結果です。このような値になるとは全く知りませんでした。$
$問題作成者のアイデアと知識のすごさに感動しました。$


$(補充)$

$設問は点Pの描く曲線を求めることは要求していないが、これを求めるには媒介変数 \ t\ を消去すればよい。$

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} x=at(1-t)+c(t^2+t-1) \hspace{5em}(1)\\ y=bt(1-t) \hspace{12em}(2)\\ \end{array} \right. \] $(2) より \quad t(1-t)=\cfrac{y}{b} \ \ を(1)の \ \ 　x=at(1-t)+c\big(t(1+t)-1\big)\ \ に代入すると$
$x=\cfrac{a}{b}y+c\big(t(1+t)-1\big)$

$t(1+t)-1=\cfrac{1}{c}(x-\cfrac{a}{b}y)=\cfrac{bx-ay}{bc}$

$t(1+t)=\cfrac{bx-ay}{bc}+1=\cfrac{bx-ay+bc}{bc} \hspace{5em}(3)$

$(2)より \quad t-t^2=\cfrac{y}{b}$

$(3)より \quad t+t^2=\cfrac{bx-ay+bc}{bc} $

$辺々加えて$

$2t=\cfrac{y}{b}+\cfrac{bx-ay+bc}{bc} =\cfrac{bx+(c-a)y+bc}{bc}$

$t=\cfrac{bx+(c-a)y+bc}{2bc}$

$これを(2)に代入すると$

$y=b \times \cfrac{bx+(c-a)y+bc}{2bc} \times \big(1-\cfrac{bx+(c-a)y+bc}{2bc}\big)$

$4bc^2y=-\{bx+(c-a)y+bc\}\{bx+(c-a)y-bc\}$

$\big(bx+(c-a)y\big)^2-b^2c^2+4bc^2y=0$

$b^2x^2+2b(c-a)xy+(c-a)^2y^2+4bc^2y-b^2c^2=0$

　
$これがP(x,y)の描く曲線であり、2次曲線となることがわかる。$
$2次曲線については($2次曲線の標準化$)を参考にしてください。$

$判別式は$

$\quad D=b^2(c-a)^2-b^2(c-a)^2=0 $

$となるから放物線であることがわかる。$

$例えば、a=2,\ \ b=2,\ \ c=3 \ \ とすると$

$\qquad 4x^2+4xy+y^2+72y-36=0$

$このグラフは右図の赤い曲線です。$


$P(x,y)の描く曲線が、放物線となることもすごいですね。$
$なお、設問に \triangle ABC は鋭角三角形という条件がありますが、この条件が必要な場所がどこにも$
$見当たりません。おそらく鈍角三角形でもOKでしょう。$

ページの先頭へ↑