京都大学　2020年　問題5

　
$縦4個、横4個のマス目のそれぞれに \ 1,\ 2,\ 3,\ 4\ の数字を入れていく。$
$このマス目の横の並びを行といい、縦の並びを列という。$
$どの行にも、どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ。$
$右図はこのような入れ方の1例である。$


$(解説)$
$このような正方形のマス目に数字を配置する方法をラテン方格といいます。$
$この問題は4次のラテン方格の個数を求めさせる問題です。$
$ラテン方格については、下の説明を読んでください。$


$まず、2次については、下図の1通りしかありません。$
\[ \hspace{1em} \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\\ \hline \ 2\ &\ 1\\ \hline \end{array} \]
$次に、3次については、第1行を順列 \ (1\ 2\ 3)\ とすると$
$第2行第1列が2の場合は図1、第2行第1列が3の場合は図2となります。$
\[ \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\\ \hline \ 2\ &\ 3\ &\ 1\\ \hline \ 3\ &\ 1\ &\ 2\\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\\ \hline \ 3\ &\ 1\ &\ 2\\ \hline \ 2\ &\ 3\ &\ 1\\ \hline \end{array} \] $\hspace{5em}図1 \hspace{6em}図2$

$第1行の順列を \ (1\ 3\ 2)\ とすると$
$第2列と第3列が入れ代わるだけですから、図1は図3に、図2は図4のようになります。$
\[ \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 3\ &\ 2\\ \hline \ 2\ &\ 1\ &\ 3\\ \hline \ 3\ &\ 2\ &\ 1\\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 3\ &\ 2\\ \hline \ 3\ &\ 2\ &\ 1\\ \hline \ 2\ &\ 1\ &\ 3\\ \hline \end{array} \] $\hspace{4em}図3 \hspace{7em}図4$


$他の順列も同様ですから、第1行の順列の数だけの入れ方があります。$

$したがって、全部で \ \ 2 \times 3!=12\ (通り) \ \ の入れ方があります。$


$問題の4次についても3次と同様に考えればいいでしょう。$

$第1行を順列 \ (1\ 2\ 3\ 4)\ とします。$

$(1)\ \ 第2行第1列=2\ \ の場合$

(i)$\ \ 第2行第2列=1\ \ のとき$
\[ \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 2\ &\ 1\ &\ 4\ &\ 3\\ \hline \ 3\ &\ 4\ &\ 1\ &\ 2\\ \hline \ 4\ &\ 3\ &\ 2\ &\ 1\\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 2\ &\ 1\ &\ 4\ &\ 3\\ \hline \ 3\ &\ 4\ &\ 2\ &\ 1\\ \hline \ 4\ &\ 3\ &\ 1\ &\ 2\\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 2\ &\ 1\ &\ 4\ &\ 3\\ \hline \ 4\ &\ 3\ &\ 1\ &\ 2\\ \hline \ 3\ &\ 4\ &\ 2\ &\ 1\\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 2\ &\ 1\ &\ 4\ &\ 3\\ \hline \ 4\ &\ 3\ &\ 2\ &\ 1\\ \hline \ 3\ &\ 4\ &\ 1\ &\ 2\\ \hline \end{array} \]
(ii)$\ \ 第2行第2列=3\ \ のとき$
\[ \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 2\ &\ 3\ &\ 4\ &\ 1\\ \hline \ 3\ &\ 4\ &\ 1\ &\ 2\\ \hline \ 4\ &\ 1\ &\ 2\ &\ 3\\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 2\ &\ 3\ &\ 4\ &\ 1\\ \hline \ 4\ &\ 1\ &\ 2\ &\ 3\\ \hline \ 3\ &\ 4\ &\ 1\ &\ 2\\ \hline \end{array} \]
(iii)$\ \ 第2行第2列=4\ \ のとき$
\[ \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 2\ &\ 4\ &\ 1\ &\ 3\\ \hline \ 3\ &\ 1\ &\ 4\ &\ 2\\ \hline \ 4\ &\ 3\ &\ 2\ &\ 1\\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 2\ &\ 4\ &\ 1\ &\ 3\\ \hline \ 4\ &\ 3\ &\ 2\ &\ 1\\ \hline \ 3\ &\ 1\ &\ 4\ &\ 2\\ \hline \end{array} \] $このように、8通りあります。$


$(2)\ \ 第2行第1列=3\ \ の場合$

(i)$\ \ 第2行第2列=1\ \ のとき$
\[ \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 3\ &\ 1\ &\ 4\ &\ 2\\ \hline \ 2\ &\ 4\ &\ 1\ &\ 3\\ \hline \ 4\ &\ 3\ &\ 2\ &\ 1\\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 3\ &\ 1\ &\ 4\ &\ 2\\ \hline \ 4\ &\ 3\ &\ 2\ &\ 1\\ \hline \ 2\ &\ 4\ &\ 1\ &\ 3\\ \hline \end{array} \]
(ii)$\ \ 第2行第2列=4\ \ のとき$
\[ \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 3\ &\ 4\ &\ 1\ &\ 2\\ \hline \ 2\ &\ 1\ &\ 4\ &\ 3\\ \hline \ 4\ &\ 3\ &\ 2\ &\ 1\\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 3\ &\ 4\ &\ 1\ &\ 2\\ \hline \ 2\ &\ 3\ &\ 4\ &\ 1\\ \hline \ 4\ &\ 1\ &\ 2\ &\ 3\\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 3\ &\ 4\ &\ 1\ &\ 2\\ \hline \ 4\ &\ 1\ &\ 2\ &\ 3\\ \hline \ 2\ &\ 3\ &\ 4\ &\ 1\\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 3\ &\ 4\ &\ 1\ &\ 2\\ \hline \ 4\ &\ 3\ &\ 2\ &\ 1\\ \hline \ 2\ &\ 1\ &\ 4\ &\ 3\\ \hline \end{array} \] $\hspace{21em}(これが問題文の例です)$
\[ \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 3\ &\ 4\ &\ 2\ &\ 1\\ \hline \ 2\ &\ 1\ &\ 4\ &\ 3\\ \hline \ 4\ &\ 3\ &\ 1\ &\ 2\\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 3\ &\ 4\ &\ 2\ &\ 1\\ \hline \ 4\ &\ 3\ &\ 1\ &\ 2\\ \hline \ 2\ &\ 1\ &\ 4\ &\ 3\\ \hline \end{array} \] $このように、8通りあります。$


$(3)\ \ 第2行第1列=4\ \ の場合$

(i)$\ \ 第2行第2列=1\ \ のとき$
\[ \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 4\ &\ 1\ &\ 2\ &\ 3\\ \hline \ 2\ &\ 3\ &\ 4\ &\ 1\\ \hline \ 3\ &\ 4\ &\ 1\ &\ 2\\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 4\ &\ 1\ &\ 2\ &\ 3\\ \hline \ 3\ &\ 4\ &\ 1\ &\ 2\\ \hline \ 2\ &\ 3\ &\ 4\ &\ 1\\ \hline \end{array} \]
(ii)$\ \ 第2行第2列=3\ \ のとき$
\[ \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 4\ &\ 3\ &\ 1\ &\ 2\\ \hline \ 2\ &\ 1\ &\ 4\ &\ 3\\ \hline \ 3\ &\ 4\ &\ 2\ &\ 1\\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 4\ &\ 3\ &\ 1\ &\ 2\\ \hline \ 3\ &\ 4\ &\ 2\ &\ 1\\ \hline \ 2\ &\ 1\ &\ 4\ &\ 3\\ \hline \end{array} \] \[ \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 4\ &\ 3\ &\ 2\ &\ 1\\ \hline \ 2\ &\ 1\ &\ 4\ &\ 3\\ \hline \ 3\ &\ 4\ &\ 1\ &\ 2\\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 4\ &\ 3\ &\ 2\ &\ 1\\ \hline \ 2\ &\ 4\ &\ 1\ &\ 3\\ \hline \ 3\ &\ 1\ &\ 4\ &\ 2\\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 4\ &\ 3\ &\ 2\ &\ 1\\ \hline \ 3\ &\ 1\ &\ 4\ &\ 2\\ \hline \ 2\ &\ 4\ &\ 1\ &\ 3\\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 4\ &\ 3\ &\ 2\ &\ 1\\ \hline \ 3\ &\ 4\ &\ 1\ &\ 2\\ \hline \ 2\ &\ 1\ &\ 4\ &\ 3\\ \hline \end{array} \] $このように、8通りあります。$


$以上、第1行=(1\ 2\ 3\ 4)\ のとき、8 \times 3=24 \ \ 通り$

$第1行の順列ごとに列が入れ代わるから \quad 4!\ \ 通り$

$したがって、全部で \quad 24 \times 4!=576\ \ 通り$


$このように、3次はわずか \ 12\ 通りですが、4次は \ 576\ 通りにもなります。$
$入試問題として、n=3\ では簡単すぎるし、n=5\ では何通りあるか気が遠くなりますので、$
$n=4\ が妥当だったわけです。$

$一般に、n次のラテン方格が何通りあるかの個数を求める式を知りたいところですが、おそらくないと思われます。$
$(もしあったらごめんなさい)$


$※　ラテン方格について$

$データの分散を因子(要因)と考えられる成分に分解する方法を分散分析といいます。$
$各因子はいくつかの種類に分けて調査しますが、これを水準といいます。$

$因子が1つの場合は1元配置、2つの場合は2元配置といいますが、各因子の各水準についてすべての$
$組み合わせで調査します。$
$3因子になると、例えば各水準が4とすると \ 4^3=64\ 通りとなり、かなり困難になります。$

$そこで$

$\quad $(i)$\ \ 各因子の水準は同じ個数とする。(正方形状に並べる)$
$\quad $(ii)$\ \ 1つの因子水準に対して、他の因子水準はそれぞれ1回ずつある。(どの行にも、どの列にも1回しか現れない)$

$このような配置方法をラテン方格といいます。$

$この問題は、因子A,B,Cに対してそれぞれ4つの水準を考えたときのラテン方格を考えさせる設問です。$
$問題文中の数字の並びに対して$
\[ \hspace{3em} \begin{array}{|c|c|c| } \hline \ 1\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 4\\ \hline \ 3\ &\ 4\ &\ 1\ &\ 2\\ \hline \ 4\ &\ 1\ &\ 2\ &\ 3\\ \hline \ 2\ &\ 3\ &\ 4\ &\ 1\\ \hline \end{array} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \begin{array}{c|c c } \ \ &\ B_1\ &\ B_2\ &\ B_3\ &\ B_4\\ \hline \ A_1\ &\ C_1\ &\ C_2\ &\ C_3\ &\ C_4\\ \ A_2\ &\ C_3\ &\ C_4\ &\ C_1\ &\ C_2\\ \ A_3\ &\ C_4\ &\ C_1\ &\ C_2\ &\ C_3\\ \ A_4\ &\ C_2\ &\ C_3\ &\ C_4\ &\ C_1\\ \end{array} \] $右のような配置を考えたことになります。$
$これら(A_1B_1C_1),(A_1B_2C_2)\cdots (A_4B_4C_1)の16個はすべての組み合わせ64個の \cfrac{1}{4}です。$
$この16回の実験で、因子A,\ B,\ C\ の水準間に差が認められるかどうかを検定するわけです。$



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