京都府立医科大学 2023年　問題4


$a,\ b\ は \ \ 0 < b < 1 < a \ \ を満たす実数とする。xy\ 平面上で方程式 \ \ \cfrac{x^2}{a^2} + \cfrac{y^2}{a^2-1} =1 \ \ で表される楕円を$
$C\ とする。C\ と同じ焦点をもち、点(b,\ 0)\ を通る双曲線を \ D\ とする。C\ と \ D\ の共有点のうち第 \ 1\ 象限$
$にあるものを \ P\ とし、その \ x\ 座標を \ s\ とする。C\ で囲まれる部分と領域 \ \ 0 \leqq x \leqq s \ \ との共通部分を$
$K\ とし、直線 \ x=s\ と \ D\ で囲まれる部分を \ L\ とする。K\ と \ L\ を \ x\ 軸のまわりに \ 1\ 回転してできる$
$立体の体積をそれぞれ \ V_K,\ V_L\ とする。$
$(1)\ \ s\ を \ a,\ b\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ 点 \ P\ における \ C\ の接線と \ D\ の接線は垂直であることを証明せよ。$
$(3)\ \ V_K\ を \ a,\ b\ を用いて表せ。$
\[(4)\ \ s=1\ であるとき、極限 \ \ \lim _{a \rightarrow \infty} \cfrac{V_L}{V_K} \ \ を求めよ。\]


(1)

　

$楕円 \ C\ の焦点は \ \ \sqrt{a^2-(a^2-1)}=1\ \ だから \ \ F(1,\ 0)$

$双曲線 \ D\ の焦点は楕円Cの焦点に一致するから$

$D\ は \ \ \cfrac{x^2}{c^2} -\cfrac{y^2}{d^2}=1\ \ (c,\ d > 0)\ \ とおける。$

$点(b,\ 0)\ を通るから \ \ \cfrac{b^2}{c^2} =1 \qquad c^2=b^2 \qquad b > 0,\ \ c > 0 \ \ だから \ \ c=b$

$焦点は \ \ (\sqrt{c^2+d^2},\ 0)\ \ だから \ \ c^2+d^2=1$

$よって \quad b^2+d^2=1 \quad \therefore \ \ d^2=1-b^2$

$D:\ \cfrac{x^2}{b^2} - \cfrac{y^2}{1-b^2}=1$

$C,\ D\ の分母をはらって$

$(a^2-1)x^2 + a^2y^2=a^2(a^2-1) \hspace{10em} ①$

$(1-b^2)x^2 - b^2y^2=b^2(1-b^2) \hspace{10.5em} ②$

$①+②\ より$

$(a^2-b^2)x^2 + (a^2-b^2)y^2 =a^2(a^2-1)+b^2(1-b^2)$

$(a^2-b^2)x^2 + (a^2-b^2)y^2 =a^4 -b^4 - (a^2- b^2)$

$(a^2-b^2)(x^2 + y^2) =(a^2 -b^2)(a^2+b^2 - 1)$

$a \ne b \ \ だから 両辺 \ a^2 -b^2 \ で割って$

$x^2 + y^2 =a^2+b^2 - 1 \hspace{10em} ③$

$y^2=-x^2+a^2+b^2-1 \ \ を①に代入して$

$(a^2-1)x^2+a^2(-x^2+a^2+b^2-1)=a^2(a^2-1) $

$x^2=a^2(a^2+b^2-1)-a^2(a^2-1)=a^2b^2 $

$a > 0,\ b > 0,\ x > 0\ \ だから \quad x=ab \quad よって \quad s=ab$


(2)

　

$P(x_1,\ y_1)\ とおくと(1)より \quad x_1=ab$

$(1)の③に代入して$

$y_1^2=a^2+b^2-1-a^2b^2=-(a^2-1)(b^2-1)=(a^2-1)(1-b^2)$

$楕円 \ C\ について$

$\quad x\ で微分すると$

$\quad \cfrac{2x}{a^2}+\cfrac{2y}{a^2-1}y'=0$

$\quad y'=-\cfrac{a^2-1}{a^2}\cdot \cfrac{x}{y}$

$\quad P\ における接線の傾き \ m_C\ は \ \ m_C=-\cfrac{a^2-1}{a^2} \times \cfrac{x_1}{y_1}$

$双曲線 \ D\ について$

$\quad x\ で微分すると$

$\quad \cfrac{2x}{b^2}-\cfrac{2y}{1-b^2}y'=0$

$\quad y'=\cfrac{1-b^2}{b^2}\cdot \cfrac{x}{y}$

$\quad P\ における接線の傾き \ m_D\ は \quad m_D=\cfrac{1-b^2}{b^2} \times \cfrac{x_1}{y_1}$

\begin{eqnarray*} m_C m_D &=& -\cfrac{a^2-1}{a^2} \times \cfrac{x_1}{y_1} \times \cfrac{1-b^2}{b^2} \times \cfrac{x_1}{y_1}\\ \\ &=& -\cfrac{(a^2-1)(1-b^2)}{a^2b^2} \times \cfrac{x_1^2}{y_1^2}\\ \\ &=& -\cfrac{(a^2-1)(1-b^2)}{a^2b^2} \times \cfrac{a^2b^2}{(a^2-1)(1-b^2)}\\ \\ &=&-1 \end{eqnarray*}
$よって \quad 点 \ P\ における \ C\ の接線と \ D\ の接線は垂直である。$


(3)

　

\begin{eqnarray*} V_K &=&\pi \int_0^s y^2dx \\ &=&\pi \int_0^{ab} (a^2-1)\big(1-\cfrac{x^2}{a^2}\big)dx \\ &=&\pi (a^2-1)\big [x-\cfrac{x^3}{3a^2}\big]_0^{ab}\\ \\ &=&\pi (a^2-1)\big (ab-\cfrac{a^3b^3}{3a^2}\big)\\ \\ &=&\cfrac{\pi}{3}ab(a^2-1)(3-b^2)\\ \end{eqnarray*}

(4)

　

\begin{eqnarray*} V_L &=&\pi \int_b^s y^2dx \\ &=&\pi \int_b^{ab} (1-b^2)\big(\cfrac{x^2}{b^2}-1 \big)dx \\ &=&\pi (1-b^2)\big [\cfrac{x^3}{3b^2} -x \big]_b^{ab}\\ \\ &=&\pi (1-b^2)\big (\cfrac{a^3b^3}{3b^2} -ab -\cfrac{b^3}{3b^2} +b \big)\\ \\ &=&\cfrac{\pi}{3}b(1-b^2)(a^3-3a+2)\\ \\ &=&\cfrac{\pi}{3}b(1-b^2)(a-1)^2(a+2)\\ \end{eqnarray*}
$s=1\ \ のとき \quad ab=1 \qquad b=\cfrac{1}{a}$

$V_K=\cfrac{\pi}{3}(a^2-1)(3-\cfrac{1}{a^2})$

$V_l=\cfrac{\pi}{3} \times \cfrac{1}{a} (1-\cfrac{1}{a^2})(a-1)^2(a+2)=\cfrac{\pi}{3a^3} (a^2-1)(a-1)^2(a+2)=\cfrac{\pi}{3}(a^2-1)(1-\cfrac{1}{a})^2(1+\cfrac{2}{a})$

\begin{eqnarray*} \cfrac{V_l}{V_K} &=&\cfrac{\dfrac{\pi}{3}(a^2-1)(1-\dfrac{1}{a})^2(1+\dfrac{2}{a})}{\dfrac{\pi}{3}(a^2-1)(3-\dfrac{1}{a^2})}\\ \\ &=&\cfrac{(1-\dfrac{1}{a})^2(1+\dfrac{2}{a})}{3-\dfrac{1}{a^2}}\\ \end{eqnarray*} \[\lim _{a \rightarrow \infty} \cfrac{V_L}{V_K}=\lim _{a \rightarrow \infty} \cfrac{(1-\dfrac{1}{a})^2(1+\dfrac{2}{a})}{3-\dfrac{1}{a^2}}=\cfrac{1}{3}\]

ページの先頭へ↑




メインメニュー　に戻る


\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}