京都府立医科大学 2023年 問題3
$z\ は \ 0\ でない複素数とする。0\ 以上の整数 \ n\ に対して、a_n=z^n+\overline{z}^n \ \ とおく。ここで \ \ \overline{z}\ \ は \ z\ と共役な$
$\quad 複素数である。$
$(1)\ \ a_n \ \ は実数であることを証明せよ。$
$(2)\ \ z=1+i \ \ とする。ただし \ i\ は虚数単位である。0\ 以上の整数 \ k\ に対して、$
$\quad a_{4k},\ \ a_{4k+1},\ \ a_{4k+2},\ \ a_{4k+3}\ \ を求めよ。$
$(3)\ \ 次の条件を満たす \ z\ をすべて求めよ。$
$\quad 条件 : 0\ 以上のすべての整数 \ k\ に対して \ \ a_{6k}=a_{6k+2}$
(1)
$z\ を極形式で \ \ z=r(\cos \theta +isin \theta )\ \ (r > 0,\ \ 0 \leqq \theta < 2\pi)\ \ とおくと$
$z^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )$
$\overline{z}=r(\cos \theta - i\sin \theta )=r(\cos (-\theta) +i\sin (-\theta )) \quad だから$
$\overline{z}^n =r^n(\cos (-n\theta) +i\sin (-n\theta ))= r^n(\cos n\theta - i\sin n\theta )$
$a_n=z^n+\overline{z}^n =r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )+ r^n(\cos n\theta - i\sin n\theta )=2r^n \cos n\theta$
$よって \quad a_n \ は実数である。$
(2)
$(1)より \quad a_n=2r^n \cos n\theta , \qquad z=1+i=\sqrt{2}(\cos \cfrac{\pi}{4}+ i\sin \cfrac{\pi}{4})$
$a_n=z^n+\overline{z}^n =2(\sqrt{2})^n \cos \cfrac{n}{4}\pi=2^{1+\scriptsize{\cfrac{n}{2}}} \cos \cfrac{n}{4}\pi \quad だから$
$a_{4k}=2^{2k+1} \cos k\pi=(-1)^k 2^{2k+1}$
$a_{4k+1}=2^{2k+1+\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} \cos (k+\cfrac{1}{4})\pi=2^{2k+1+\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} (\cos k\pi \cos \cfrac{\pi}{4} - \sin k\pi \sin \cfrac{\pi}{4}) =2^{2k+1+\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} (-1)^k \cfrac{1}{\sqrt{2}}=(-1)^k 2^{2k+1}$
$a_{4k+2}=2^{2k+2} \cos (k+\cfrac{1}{2})\pi=0$
$a_{4k+3}=2^{2k+2+\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} \cos (k+\cfrac{3}{4})\pi=2^{2k+2+\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} (\cos k\pi \cos \cfrac{3}{4}\pi - \sin k\pi \sin \cfrac{3}{4}\pi) =2^{2k+2+\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} (-1)^k (-\cfrac{1}{\sqrt{2}})=(-1)^{k+1} 2^{2k+2}$
(3)
$(1)より \quad z=r(\cos \theta +isin \theta )\ \ (r > 0,\ \ 0 \leqq \theta < 2\pi)\ \ とおくと$
$a_n=2r^n \cos n\theta \quad だから \quad a_{6k}=a_{6k+2} \quad より$
$2r^{6k} \cos 6k\theta =2r^{6k+2} \cos (6k+2)\theta$
$\cos 6k\theta =r^2 \cos (6k+2)\theta$
$\therefore \ \ r^2=\cfrac{\cos 6k\theta}{\cos (6k+2)\theta}$
$(必要条件)$
$これが \ 0\ 以上のすべての整数 \ k\ に対して成りたつから$
$k=1 \ でも成りたつ \qquad r^2=\cfrac{\cos 6\theta}{\cos 8\theta}$
$k=2 \ でも成りたつ \qquad r^2=\cfrac{\cos 12\theta}{\cos 14\theta}$
$\cfrac{\cos 6\theta}{\cos 8\theta}=\cfrac{\cos 12\theta}{\cos 14\theta}$
$\cos 6\theta \cos 14\theta =\cos 8\theta \cos 12\theta$
$\cos 20\theta + \cos 8\theta =\cos 20\theta + \cos 4\theta$
$\cos 8\theta =\cos 4\theta$
$2\cos ^2 4\theta -1=\cos 4\theta$
$2\cos ^2 4\theta - \cos 4\theta -1=0$
$(2\cos 4\theta +1)(\cos 4\theta -1)=0$
$\cos 4\theta =-\cfrac{1}{2},\ \ 1$
$0 \leqq \theta < 2\pi \quad より \quad 0 \leqq 4\theta < 8\pi$
$\cos 4\theta =-\cfrac{1}{2} \quad より \quad 4\theta=\cfrac{2}{3}\pi,\ \ \cfrac{4}{3}\pi,\ \ \cfrac{8}{3}\pi,\ \ \cfrac{10}{3}\pi,\ \ \cfrac{14}{3}\pi,\ \ \cfrac{16}{3}\pi,\ \ \cfrac{20}{3}\pi,\ \ \cfrac{22}{3}\pi$
$\quad \theta =\cfrac{1}{6}\pi,\ \ \cfrac{1}{3}\pi,\ \ \cfrac{2}{3}\pi,\ \ \cfrac{5}{6}\pi,\ \ \cfrac{7}{6}\pi,\ \ \cfrac{4}{3}\pi,\ \ \cfrac{5}{3}\pi,\ \ \cfrac{11}{6}\pi$
$\cos 4\theta =1 \quad より \quad 4\theta=0,\ \ 2\pi,\ \ 4\pi,\ \ 6\pi$
$\quad \theta=0,\ \ \cfrac{1}{2}\pi,\ \ \pi,\ \ \cfrac{3}{2}\pi$
$(十分条件)$
$これらの \ \theta \ で \ 0\ 以上のすべての整数 \ k\ に対して \ \ a_{6k}=a_{6k+2}、$
$すなわち \quad r^2=\cfrac{\cos 6k\theta}{\cos (6k+2)\theta} \quad が成りたつかどうか調べる。$
(i)$\ \ \theta=\cfrac{1}{6}\pi \quad のとき \qquad r^2=\cfrac{\cos k\pi}{\cos (k\pi+ \dfrac{\pi}{3})}=\cfrac{(-1)^k}{(-1)^k \dfrac{1}{2}}=2 \qquad r=\sqrt{2}$
(ii)$\ \ \theta=\cfrac{1}{3}\pi \quad のとき \qquad r^2=\cfrac{\cos 2k\pi}{\cos (2k\pi+ \dfrac{2}{3}\pi)}=\cfrac{1}{-\dfrac{1}{2}}=-2 \qquad 不適$
(iii)$\ \ \theta=\cfrac{2}{3}\pi \quad のとき \qquad r^2=\cfrac{\cos 4k\pi}{\cos (4k\pi+ \dfrac{4}{3}\pi)}=\cfrac{1}{-\dfrac{1}{2}}=-2 \qquad 不適$
(iv)$\ \ \theta=\cfrac{5}{6}\pi \quad のとき \qquad r^2=\cfrac{\cos 5k\pi}{\cos (5k\pi+ \dfrac{5\pi}{3})}=\cfrac{(-1)^k}{(-1)^k \dfrac{1}{2}}=2 \qquad r=\sqrt{2}$
(v)$\ \ \theta=\cfrac{7}{6}\pi \quad のとき \qquad r^2=\cfrac{\cos 7k\pi}{\cos (7k\pi+ \dfrac{7\pi}{3})}=\cfrac{(-1)^k}{(-1)^k \dfrac{1}{2}}=2 \qquad r=\sqrt{2}$
(vi)$\ \ \theta=\cfrac{4}{3}\pi \quad のとき \qquad r^2=\cfrac{\cos 8k\pi}{\cos (8k\pi+ \dfrac{8}{3}\pi)}=\cfrac{1}{-\dfrac{1}{2}}=-2 \qquad 不適$
(vii)$\ \ \theta=\cfrac{5}{3}\pi \quad のとき \qquad r^2=\cfrac{\cos 10k\pi}{\cos (10k\pi+ \dfrac{10}{3}\pi)}=\cfrac{1}{-\dfrac{1}{2}}=-2 \qquad 不適$
(viii)$\ \ \theta=\cfrac{11}{6}\pi \quad のとき \qquad r^2=\cfrac{\cos 11k\pi}{\cos (11k\pi+ \dfrac{11\pi}{3})}=\cfrac{(-1)^k}{(-1)^k \dfrac{1}{2}}=2 \qquad r=\sqrt{2}$
(ix)$\ \ \theta=0 \quad のとき \qquad r^2=\cfrac{\cos 0}{\cos 0}=1 \qquad r=1$
(x)$\ \ \theta=\cfrac{1}{2}\pi \quad のとき \qquad r^2=\cfrac{\cos 3k\pi}{\cos (3k\pi+ \pi)}=\cfrac{(-1)^k}{(-1)^{k+1}}=-1 \qquad 不適$
(xi)$\ \ \theta=\pi \quad のとき \qquad r^2=\cfrac{\cos 6k\pi}{\cos (6k\pi+ 2\pi)}=1 \qquad r=1$
(xii)$\ \ \theta=\cfrac{3}{2}\pi \quad のとき \qquad r^2=\cfrac{\cos 9k\pi}{\cos (9k\pi+ 3\pi)}=\cfrac{(-1)^k}{(-1)^{k+1}}=-1 \qquad 不適$
$以上より \quad a_{6k}=a_{6k+2}\quad を満たす \ z\ は$
$z=\sqrt{2}(\cos \cfrac{1}{6}\pi + i\sin \cfrac{1}{6}\pi)=\sqrt{2}(\cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{1}{2}i)$
$z=\sqrt{2}(\cos \cfrac{5}{6}\pi + i\sin \cfrac{5}{6}\pi)=\sqrt{2}(-\cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{1}{2}i)$
$z=\sqrt{2}(\cos \cfrac{7}{6}\pi + i\sin \cfrac{7}{6}\pi)=\sqrt{2}(-\cfrac{\sqrt{3}}{2}-\cfrac{1}{2}i)$
$z=\sqrt{2}(\cos \cfrac{11}{6}\pi + i\sin \cfrac{11}{6}\pi)=\sqrt{2}(\cfrac{\sqrt{3}}{2}-\cfrac{1}{2}i)$
$z=\cos 0 + i\sin 0=1$
$z=\cos \pi + i\sin \pi=-1$
$まとめて \quad z=\pm 1,\quad \sqrt{2}(\pm \cfrac{\sqrt{3}}{2} \pm \cfrac{1}{2}i)$
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\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}