熊本大学(理系) 2023年　問題4


$t\ は正の実数とする。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 関数 \ \ f(x)=2tx^2e^{-tx^2}\ \ の極値を求めよ。$
$(2)\ \ 定積分 \ \ \int_1^{\sqrt{t}} 4tx(1-tx^2)e^{-tx^2} \log x dx \ \ の値を \ t\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ (問2)で求めた値を \ g(t)\ とおく。1 < t < 4 \ \ のとき、$
$\quad 不等式 \quad g(t) > (t^{\scriptsize{\cfrac{5}{2}}}-t^2+1)e^{-t^2} -e^{-t} \quad が成り立つことを示せ。$


(1)


$f(x)=2tx^2e^{-tx^2} \quad より \quad f'(x)=4txe^{-tx^2} - 4t^2x^3e^{-tx^2}=4tx(1-tx^2)e^{-tx^2}$

$f'(x)=0 \quad より \quad x=0,\ \ \pm \cfrac{1}{\sqrt{t}}$

$増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & \cdots & -\small{\cfrac{1}{\sqrt{t}}} & \cdots & 0 & \cdots & \small{\cfrac{1}{\sqrt{t}}} & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + & 0 & -\\ \hline f(x) & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow & 極大 & \searrow \\ \end{array} \] $よって$

$x=0 \ \ のとき \ \ 極小値 \ \ f(0)=0,\quad x=\pm \cfrac{1}{\sqrt{t}}\ \ のとき \ \ 極大値 \ \ f(\pm \cfrac{1}{\sqrt{t}})=2t \times \cfrac{1}{t}e^{-t \times \scriptsize{\cfrac{1}{t}}}=\cfrac{2}{e}$


(2)


$(1)より \quad f(x)=2tx^2e^{-tx^2}\ \ に対して \ \ f'(x)=4tx(1-tx^2)e^{-tx^2} \ \ だったから$
\begin{eqnarray*} & &\int_1^{\sqrt{t}} 4tx(1-tx^2)e^{-tx^2} \log x dx \\ \\ &=&\int_1^{\sqrt{t}} f'(x)\log xdx\\ \\ &=&[f(x)\log x ]_1^{\sqrt{t}} - \int_1^{\sqrt{t}} f(x) \times \cfrac{1}{x}dx\\ \\ &=&[2tx^2e^{-tx^2}\log x ]_1^{\sqrt{t}} - \int_1^{\sqrt{t}} 2tx^2e^{-tx^2} \times \cfrac{1}{x}dx\\ \\ &=&2t^2e^{-t^2}\log \sqrt{t} - \int_1^{\sqrt{t}} 2txe^{-tx^2} dx\\ \\ &=&2t^2e^{-t^2}\log \sqrt{t} + [e^{-tx^2}]_1^{\sqrt{t}} \hspace{5em} (\because \ \ (e^{-tx^2})'=-2txe^{-tx^2})\\ \\ &=&t^2e^{-t^2}\log t + e^{-t^2} -e^{-t}\\ \end{eqnarray*}

(3)


$g(t)=t^2e^{-t^2}\log t + e^{-t^2} -e^{-t} \quad より$

\begin{eqnarray*} & &g(t)-(t^{\scriptsize{\cfrac{5}{2}}}-t^2+1)e^{-t^2} -e^{-t})\\ \\ &=&(t^2e^{-t^2}\log t + e^{-t^2} -e^{-t}) -(t^{\scriptsize{\cfrac{5}{2}}}-t^2+1)e^{-t^2} -e^{-t})\\ \\ &=&t^2(\log t -t^{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} +1)e^{-t^2}\\ \end{eqnarray*} $h(t)=\log t -t^{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} +1 \quad とおくと $

$h'(t)=\cfrac{1}{t}-\cfrac{1}{2}t^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}=\cfrac{1}{t}-\cfrac{1}{2\sqrt{t}}=\cfrac{2-\sqrt{t}}{2t}$

$1 < t < 4 \quad だから \quad 1 < \sqrt{t} < 2 \quad よって \quad h'(t) > 0$

$h(t)\ は単調増加となり \quad h(t) > h(1)=0$

$よって \quad h(t)=\log t -t^{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} +1 > 0 $

$t^2(\log t -t^{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} +1)e^{-t^2} > 0$

$したがって \quad g(t) >(t^{\scriptsize{\cfrac{5}{2}}}-t^2+1)e^{-t^2} -e^{-t})$


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