熊本大学(理系) 2023年　問題2


$n\ を \ 2\ 以上の自然数とする。1\ 個のさいころを \ n\ 回投げて、出た目の積をとる。積が \ 12\ となる確率を$
$p_n \ とする。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ p_2,\ \ p_3\ を求めよ。$
$(2)\ \ n \geqq 4 \ \ のとき、p_n\ を求めよ。$
$(3)\ \ n \geqq 4 \ \ とする。出た目の数の積が \ n\ 回目にはじめて \ 12\ となる確率を求めよ。$


(1)


$2\ 回投げて、出た目の積が \ 12\ となる組合せは、\{2,\ 6\},\{3,\ 4\}\ \ の \ 2\ つの場合があり、$

$順序を考えるとそれぞれ \ 2\ 通りあるから、全部で \ \ 2 \times 2=4\ \ 通り$

$p_2=\cfrac{4}{6^2}=\cfrac{1}{9}$

$3\ 回投げて、出た目の積が \ 12\ となるのは目が$

(i)$\ \ \{1,\ 2,\ 6\}\ \ の場合が \quad 3!=6 \ \ 通り$

(ii)$\ \ \{1,\ 3,\ 4\}\ \ の場合が \quad 3!=6 \ \ 通り$

(iii)$\ \ \{2,\ 2,\ 3\}\ \ の場合が \quad \cfrac{3!}{2!}=3 \ \ 通り$

$p_3=\cfrac{6+6+3}{6^3}=\cfrac{5}{72}$


(2)


$n\ 回投げて、出た目の積が \ 12\ となるのは目が$

(i)$\ \ \{1,\ 1,\ \cdots \ 1,\ 2,\ 6\}\ \ (1\ が \ (n-2)\ 回)\ \ の場合が \quad \cfrac{n!}{(n-2)!}=n(n-1) \ \ 通り$

(ii)$\ \ \{1,\ 1,\ \cdots ,\ 3,\ 4\}\ \ (1\ が \ (n-2)\ 回)\ \ の場合が \quad \cfrac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\ \ 通り$

(iii)$\ \ \{1,\ 1,\ \cdots ,\ 2,\ 2,\ 3\}\ \ (1\ が \ (n-3) \ 回)\ \ の場合が \quad \cfrac{n!}{(n-3)!2!}=\cfrac{n(n-1)(n-2)}{2} \ \ 通り$

$全部で$

$n(n-1)+n(n-1)+ \cfrac{n(n-1)(n-2)}{2}=\cfrac{n}{2}(n-1)\big(4+(n-2)\big)=\cfrac{n}{2}(n-1)(n+2) \ \ 通り$

$p_n=\cfrac{n(n-1)(n+2)}{2\cdot 6^n}$


(3)


(i)$\ \ \{1,\ 1,\ \cdots \ 1,\ 2,\ 6\}\ \ (1\ が \ (n-2)\ 回)\ \ の場合 \ \ n\ 回目に \ 2\ または \ 6\ の目が出ればよい。$

$\quad 1 \ ～ \ (n-1)\ 回までに \ 1\ が \ (n-2)回、6\ または \ 2\ が \ 1\ 回 出る場合の数は \quad \cfrac{(n-1)!}{(n-2)!} \times 2=2(n-1)\ \ 通り$

(ii)$\ \ \{1,\ 1,\ \cdots \ 1,\ 3,\ 4\}\ \ (1\ が \ n-2 \ 回)\ \ の場合 \ \ n\ 回目に \ 3\ または \ 4\ の目が出ればよい。$

$\quad 1～(n-1)\ 回までに \ 1\ が \ (n-2)回、4\ または \ 3\ が \ 1\ 回 出る場合の数は \quad \cfrac{(n-1)!}{(n-2)!} \times 2=2(n-1)\ \ 通り$

(iii)$\ \ \{1,\ 1,\ \cdots \ 1,\ \ 2,\ 2,\ 3\}\ \ (1\ が \ (n-3) \ 回)\ \ の場合$

$\ \ (ア) \ \ n\ 回目に \ 2\ の目が出る場合$

$\qquad 1～(n-1)\ 回までに \ 1\ が \ (n-3)\ 回、2\ と \ 3\ が \ 1\ 回 出ればよいからその場合の数は \quad \cfrac{(n-1)!}{(n-3)!}=(n-1)(n-2)\ \ 通り$

$\ \ (イ)\ \ n\ 回目に \ 3\ の目が出る場合$

$\qquad 1～(n-1) 回までに \ 1\ が \ (n-3)回、2\ が \ 2\ 回 出ればよいからその場合の数は \quad \cfrac{(n-1)!}{(n-3)!2!}=\cfrac{1}{2}(n-1)(n-2)\ \ 通り$

$全部で$

\begin{eqnarray*} & &2(n-1)+2(n-1)+ (n-1)(n-2)+ \cfrac{1}{2}(n-1)(n-2)\\ \\ &=&4(n-1)+\cfrac{3}{2}(n-1)(n-2)\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}(n-1)(8+3(n-2))\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}(n-1)(3n+2) \ \ 通り \end{eqnarray*}
$p_n=\cfrac{(n-1)(3n+2)}{2\cdot 6^n}$


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