熊本大学(理系) 2023年 問題1
$数列 \ \{a_n\}\ を \ \ a_1=\cfrac{1}{8},\quad (4n^2-1)(a_n-a_{n+1})=8(n^2-1)a_na_{n+1}\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )\ により定める。$
$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a_2,\ \ a_3\ を求めよ。$
$(2)\ \ a_n \ne 0 \ を示せ。$
$(3)\ \ \cfrac{1}{a_{n+1}} - \cfrac{1}{a_n}\ \ を \ n\ の式で表せ。$
$(4)\ \ 数列 \ \{a_n\} \ の一般項を求めよ。$
(1)
$(4n^2-1)(a_n-a_{n+1})=8(n^2-1)a_n a_{n+1}\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )\ \ で$
$n=1 \ とおくと$
$\quad 3(a_1-a_2)=0 \qquad \therefore \ \ a_2=a_1=\cfrac{1}{8}$
$n=2 \ とおくと$
$\quad 15(a_2-a_3)=24a_2a_3 \qquad 15(\cfrac{1}{8}-a_3)=24 \times \cfrac{1}{8} \times a_3 \qquad 18a_3=\cfrac{15}{8} \qquad \therefore \ \ a_3=\cfrac{5}{48}$
(2)
$すべての自然数 \ n\ について \ \ a_n > 0\ \ であることを数学的帰納法で示す。$
(i)$\ \ n=1 \ \ のとき \qquad a_1=\cfrac{1}{8} >0 $
$\quad よって \quad n=1\ \ のとき成りたつ。$
(ii)$\ \ n=k \ \ のとき成りたつとすると \qquad a_k >0 $
$\quad このとき$
$\quad (4k^2-1)(a_k-a_{k+1})=8(k^2-1)a_k a_{k+1} \quad より$
$\quad (4k^2-1)a_k-(4k^2-1)a_{k+1}=8(k^2-1)a_k a_{k+1} $
$\quad \big\{8(k^2-1)a_k +(4k^2-1)\big\}a_{k+1}=(4k^2-1)a_k$
$\quad 8(k^2-1) > 0, \quad 4k^2-1 > 0 , \quad a_k > 0 \quad だから \quad a_{k+1} > 0$
$\quad よって \quad n=k+1 \quad のときも成りたつ。$
(i),(ii)$\ \ より \ すべての自然数 \ n\ について \quad a_n > 0 $
$したがって \quad すべての自然数 \ n\ について \quad a_n \ne 0 $
(3)
$(2)より \quad a_n \ne 0 \quad だから \quad (4n^2-1)(a_n-a_{n+1})=8(n^2-1)a_n a_{n+1} \quad の両辺を \ \ a_na_{n+1}\ \ で割って$
$(4n^2-1)(\cfrac{1}{a_{n+1}} - \cfrac{1}{a_n})=8(n^2-1)$
$\cfrac{1}{a_{n+1}} - \cfrac{1}{a_n}=\cfrac{8(n^2-1)}{4n^2-1}$
(4)
\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{a_{n+1}} - \cfrac{1}{a_n} &=&\cfrac{8(n^2-1)}{4n^2-1}\\ \\ &=&2-\cfrac{6}{4n^2-1}\\ \\ &=&2-\cfrac{6}{(2n-1)(2n+1)}\\ \\ &=&2-3\big(\cfrac{1}{2n-1}-\cfrac{1}{2n+1}\big)\\ \end{eqnarray*} $\cfrac{1}{an}=b_n \quad とおくと \quad b_1=\cfrac{1}{a_1}=8$
$b_{n+1}-b_n=2-3\big(\cfrac{1}{2n-1}-\cfrac{1}{2n+1}\big)$
$n \geqq 2 \quad のとき$
\begin{eqnarray*} b_n &=&b_1+\sum_{k=1}^{n-1} \big\{2-3\big(\cfrac{1}{2k-1}-\cfrac{1}{2k+1}\big)\big\}\\ \\ &=&8+2(n-1)-3\{(\cfrac{1}{1}-\cfrac{1}{3})+(\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{5})+ \cdots +(\cfrac{1}{2n-3}-\cfrac{1}{2n-1})\}\\ \\ &=&8+2(n-1)-3\big(1-\cfrac{1}{2n-1}\big)\\ \\ &=&2n+3 + \cfrac{3}{2n-1}\\ \\ &=&\cfrac{4n^2+4n}{2n-1}\\ \\ &=&\cfrac{4n(n+1)}{2n-1}\\ \end{eqnarray*} $したがって \quad a_n=\cfrac{1}{b_n}=\cfrac{2n-1}{4n(n+1)}$
$とくに \ \ n=1 \ \ のとき \qquad 右辺=\cfrac{1}{8} \ \ となって \ \ a_1=8 \ \ に一致するから$
$すべての自然数 \ n\ に対して \quad a_n=\cfrac{2n-1}{4n(n+1)}$
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