神戸大学(理系) 2024年　問題5


\[0\ 以上の実数 \ x\ に対して、f(x)=\cfrac{1}{2}\int_{-x}^x \cfrac{1}{1+u^2}du \quad と定める。以下の問に答えよ。\] $(1)\ \ 0 \leqq \alpha < \cfrac{\pi}{2} \quad を満たす実数 \ \alpha \ に対して、f(\tan \alpha)\ \ を求めよ。$
$(2)\ \ xy\ 平面上で、次の連立不等式の表す領域を図示せよ。$
$\qquad 0 \leqq x \leqq 1 ,\quad 0 \leqq y \leqq 1,\quad f(x)+f(y) \leqq 1$
$\quad またその領域の面積を求めよ。$


(1)


\[1+x^2 \ \ は偶関数だから \quad f(x)=\cfrac{1}{2}\int_{-x}^x \cfrac{1}{1+u^2}du=\int_0^x \cfrac{1}{1+u^2}du \]
\[ u=\tan \theta \quad とおくと \quad du=\cfrac{d\theta}{\cos ^2 \theta} \qquad \begin{array}{c|c} u & 0\ \ \rightarrow \ \ x \\ \hline \theta & 0\ \ \rightarrow \ \ z\\ \end{array} \qquad ただし \quad \tan z=x \]
\[f(x)=\int_0^z \cfrac{1}{1+\tan ^2 \theta } \cdot \cfrac{d\theta}{\cos ^2 \theta}=\int _0^z d\theta =\big[\theta\big]_0^z =z\]
$よって \quad x=\tan \alpha \quad のとき \quad \tan z=\tan \alpha$

$\tan z \ \ は \quad 0 \leqq z < \cfrac{\pi}{2} \quad で単調増加で、1対1対応だから \quad z=\alpha$

$したがって \quad f(\tan \alpha)=\alpha$


(2)


$f(x)=z,\ \ f(y)=w \quad とおくと(1)より \quad 　x=\tan z, \quad y=\tan w$

$f(1)=f(\tan \cfrac{\pi}{4})=\cfrac{\pi}{4}$

$f(x)+f(y) \leqq f(1) \quad より \quad z + w \leqq \cfrac{\pi}{4}$

$両辺の正接をとって、単調増加だから$

$\tan(z+w) \leqq \tan \cfrac{\pi}{4}$

$\cfrac{\tan z + \tan w}{1-\tan z \tan w} \leqq \tan \cfrac{\pi}{4}$

$\cfrac{x+y}{1-xy} \leqq 1$

$0 \leqq xy \leqq 1 \quad だから \quad x+y \leqq 1-xy$

$y \leqq \cfrac{-x+1}{x+1}=-1+\cfrac{2}{x+1}$

　
$連立不等式の表す領域は右図のとおりで、境界を含む$

$その領域の面積S は$
\begin{eqnarray*} S &=&\int_0^1\big(-1+\cfrac{2}{x+1}\big)dx\\ \\ &=&\big[-x+2\log (x+1)\big]_0^1\\ \\ &=&-1+2\log 2 \end{eqnarray*}

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