神戸大学(理系) 2024年 問題2
$a,\ b,\ c\ は実数で、a \ne 0 \ \ とする。放物線 \ C\ と直線 \ \ell_1,\ \ \ell_2 \ \ をそれぞれ$
$\hspace{5em} C: y=ax^2+bx+c \qquad \ell_1 : y=-3x+3 \qquad \ell_2 : y=x+3$
$で定める。\ell_1,\ \ell_2 \ がともに \ C\ に接するとき、以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ b\ を求めよ。また \ c\ を \ a\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ C\ が \ x\ 軸と異なる \ 2\ 点で交わるとき、\cfrac{1}{a}\ \ のとりうる値の範囲を求めよ。$
$(3)\ \ C\ と \ \ell_1 \ の接点を \ P, \ C \ と \ \ell_2 \ の接点を \ Q、放物線 \ C\ の頂点を \ R\ とする。a\ が(2)の条件を満たしながら$
$\quad 動くとき、\triangle PQR \ の重心 \ G\ の軌跡を求めよ。$
(1)
(i)$\ \ \ell_1 \ と \ C\ が接するから$
$\quad ax^2+bx+c=-3x+3$
$\quad ax^2+(b+3)x+c-3=0 \ \ は重解をもつ$
$\quad D=(b+3)^2-4a(c-3)=0 \hspace{5em}①$
(ii)$\ \ \ell_2 \ と \ C\ が接するから$
$\quad ax^2+bx+c=x+3$
$\quad ax^2+(b-1)x+c-3=0 \ \ は重解をもつ$
$\quad D=(b-1)^2-4a(c-3)=0 \hspace{5em}②$
$①-②より \quad (b+3)^2-(b-1)^2=0$
$8b+8=0$
$\therefore \ \ b=-1$
$①に代入して \quad 4-4a(c-3)=0$
$a(c-3)=1$
$a \ne 0 \quad だから \quad c=3+\cfrac{1}{a}$
(2)
$(1)より \quad b=-1,\quad c=3+\cfrac{1}{a} \quad だから\quad C: y=ax^2-x+3+\cfrac{1}{a}$
$C\ が \ x\ 軸と異なる \ 2\ 点で交わる条件は$
(i)$\ \ a < 0$
(ii)$\ \ D=1-4a(3+\cfrac{1}{a}) > 0 \qquad 12a < -3 \qquad a < -\cfrac{1}{4}$
(i),(ii)$\ \ より \quad -4 < \cfrac{1}{a} < 0$
(3)
(i)$\ \ C\ と \ \ell_1 \ の接点\ P$
$\quad ax^2+(b+3)x+c-3=0 \quad の重解は$
$\quad x=-\cfrac{b+3}{2a}=-\cfrac{1}{a}$
$\quad y=-3(-\cfrac{1}{a}) + 3=3+\cfrac{3}{a}$
$\quad P(-\cfrac{1}{a},\ 3+\cfrac{3}{a})$
(ii)$\ \ C \ と \ \ell_2 \ の接点\ Q$
$\quad ax^2+(b-1)x+c-3=0 \quad の重解は$
$\quad x=-\cfrac{b-1}{2a}=\cfrac{1}{a}$
$\quad y=3+\cfrac{1}{a}$
$\quad Q(\cfrac{1}{a},\ 3+\cfrac{1}{a})$
(iii)$\ \ 放物線 \ C\ の頂点\ R$
\begin{eqnarray*}
\quad
y
&=&ax^2-x+3+\cfrac{1}{a}\\
\\
&=&a(x^2-\cfrac{1}{a}x)+3+\cfrac{1}{a}\\
\\
&=&a(x-\cfrac{1}{2a})^2+3+\cfrac{1}{a}-\cfrac{1}{4a}\\
\\
&=&a(x-\cfrac{1}{2a})^2+3+\cfrac{3}{4a}\\
\end{eqnarray*}
$\quad R(\cfrac{1}{2a},\ 3+\cfrac{3}{4a})$
$\triangle PQR \ の重心 \ G(x,\ y)\ は$
$x=\cfrac{1}{3}\big(-\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{2a}\big)=\cfrac{1}{6a}$
$y=\cfrac{1}{3}\big((3+\cfrac{3}{a})+(3+\cfrac{1}{a})+(3+\cfrac{3}{4a})\big)=3+\cfrac{19}{12a}$
$重心 \ G(x,y)\ の軌跡は \ a\ を消去して$
$y=3+\cfrac{19}{12}\cdot \cfrac{1}{a}=3+\cfrac{19}{12}\cdot 6x=\cfrac{19}{2}x+3$
$ただし、(2)より\quad -4 < \cfrac{1}{a} < 0 \quad だから \quad -4 < 6x < 0 \qquad -\cfrac{2}{3} < x < 0$
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