神戸大学(理系) 2024年　問題1


$c\ を正の実数とする。各項が正である数列 \ \{a_n\}\ を次のように定める。a_1\ は関数 $
$y=x+\sqrt{c-x^2}\ \ (0 \leqq x \leqq \sqrt{c}) \ \ が最大値をとるときの \ x\ の値とする。a_{n+1}\ は関数$
$y=x+\sqrt{a_n-x^2}\ \ (0 \leqq x \leqq \sqrt{a_n})\ \ が最大値をとるときの \ x\ の値とする。数列 \ \{b_n\}\ を$
$b_n=\log_2 a_n \ \ で定める。以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ a_1\ を \ c\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ b_{n+1} \ を \ b_n \ を用いて表せ。$
$(3)\ \ 数列 \ \{b_n\} \ の一般項を \ n\ と \ c\ を用いて表せ。$


(1)


$y=x+\sqrt{c-x^2} \quad より \quad y'=1+\cfrac{-x}{\sqrt{c-x^2}}$

$y'=0 \quad より \quad \cfrac{x}{\sqrt{c-x^2}}=1 \qquad x=\sqrt{c-x^2}$

$x^2=c-x^2 \qquad x \geqq 0 \quad だから \quad x=\sqrt{\cfrac{c}{2}}$

　
$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& 0 & \cdots & \sqrt{\dfrac{c}{2}} & \cdots & \sqrt{c}\\ \hline y'& & + & 0 & - & \\ \hline y& & \nearrow & 極大 & \searrow & \\ \end{array} \]
$x=\sqrt{\cfrac{c}{2}}\ で \ y\ は極大かつ最大となるから$

$a_1=\sqrt{\cfrac{c}{2}}$

$なお、グラフは右図のとおり$


(2)


$(1)より \quad c \longrightarrow a_n \quad と置き換えて \quad a_{n+1}=\sqrt{\cfrac{a_n}{2}}$

$よって$
\begin{eqnarray*} \log_2 a_{n+1} &=&\log_2\sqrt{\dfrac{a_n}{2}}\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\log_2 \cfrac{a_n}{2}\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\big(\log_2 a_n - \log_2 2\big)\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\log_2 a_n - \cfrac{1}{2} \end{eqnarray*} $ゆえに \quad b_{n+1}=\cfrac{1}{2}b_n - \cfrac{1}{2}$


(3)


$b_1=\log_2a_1=\log_2\sqrt{\dfrac{c}{2}}=\cfrac{1}{2}\big(\log_2 c - 1\big)$

$b_{n+1}=\cfrac{1}{2}b_n - \cfrac{1}{2}$

$この漸化式の特性方程式は$

$t=\cfrac{1}{2}t - \cfrac{1}{2} \quad これを解いて \quad t=-1$

$辺々引いて$

$b_{n+1}+1 =\cfrac{1}{2}(b_n +1)$

$\{b_n +1\} \ \ は初項 \ \ b_1+1,\quad 公比 \ \ \cfrac{1}{2}\ \ の等比数列だから$
$b_n+1=(b_1+1)\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1}$
\begin{eqnarray*} b_n &=&-1+\big(\cfrac{1}{2}(\log_2 c - 1)+1\big) \big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1}\\ \\ &=&-1+\cfrac{1}{2}(\log_2 c +1) \big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1}\\ \\ &=&-1+(\log_2 c +1) \big(\cfrac{1}{2}\big)^n \qquad (n=1,\ 2,\ \cdots )\\ \end{eqnarray*}

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