神戸大学(理系) 2023年　問題5


$媒介変数表示 \ \ x=\sin t,\ \ y=\cos (t-\cfrac{\pi}{6})\sin t \ \ (0 \leqq t \leqq \pi)\ \ で表される曲線を \ C\ とする。$
$以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ \cfrac{dx}{dt}=0 \ \ または \ \ \cfrac{dy}{dt}=0 \ \ となる \ t\ の値を求めよ。$
$(2)\ \ C\ の概形を \ xy\ 平面上に描け。$
$(3)\ \ C\ の \ \ y \leqq 0 \ \ の部分と \ x\ 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。$


(1)


$x=\sin t \quad より \ \ \cfrac{dx}{dt}=\cos t= 0 \quad を解いて\quad t=\cfrac{\pi}{2}$

$y=\cos (t-\cfrac{\pi}{6})\sin t \quad より$
\begin{eqnarray*} \cfrac{dy}{dt} &=&-\sin (t-\cfrac{\pi}{6})\sin t +\cos (t-\cfrac{\pi}{6})\cos t\\ \\ &=&\cos (t-\cfrac{\pi}{6})\cos t -\sin (t-\cfrac{\pi}{6})\sin t \\ \\ &=&\cos ((t-\cfrac{\pi}{6})+t)\\ \\ &=&\cos (2t-\cfrac{\pi}{6})\\ \end{eqnarray*} $ -\cfrac{\pi}{6} \leqq 2t-\cfrac{\pi}{6} \leqq \cfrac{11}{6}\pi \quad だから \quad \cfrac{dy}{dt}=\cos (2t-\cfrac{\pi}{6})=0 \quad を解くと$

$\quad 2t-\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{\pi}{2} \quad のとき \quad 　t=\cfrac{\pi}{3},\qquad 2t-\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{3}{2}\pi \quad のとき \quad 　t=\cfrac{5}{6}\pi$

$よって \quad \cfrac{dx}{dt}=0 \ \ または \ \ \cfrac{dy}{dt}=0 \ \ となる \ t\ の値は \quad t=\cfrac{\pi}{3}, \quad \cfrac{\pi}{2}, \quad \cfrac{5}{6}\pi$


(2)


$x,y\ の増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t & 0 & \cdots & \cfrac{\pi}{3} & \cdots & \cfrac{\pi}{2} & \cdots & \cfrac{5}{6}\pi & \cdots & \pi \\ \hline \small{\cfrac{dx}{dt}} & & + & + & + & 0 & - & - & - & \\ \hline \small{\cfrac{dy}{dt}} & & + & 0 & - & - & - & 0 & + & \\ \hline x & 0 & \nearrow & \cfrac{\sqrt{3}}{2} & \nearrow & 1 & \searrow & \cfrac{1}{2} &\searrow & 0 \\ \hline y & 0 & \nearrow & 極大 & \searrow & \cfrac{1}{2} & \searrow & 極小 & \nearrow & 0 \\ \end{array} \]

　

$t=\cfrac{\pi}{3} \quad のとき \quad x=\cfrac{\sqrt{3}}{2},\quad y=\cos \cfrac{\pi}{6}\sin \cfrac{\pi}{3}=\cfrac{3}{4}$

$t=\cfrac{\pi}{2} \quad のとき \quad x=\sin \cfrac{\pi}{2}=1,\quad y=\cos \cfrac{\pi}{3}\sin \cfrac{\pi}{2}=\cfrac{1}{2}$

$t=\cfrac{5}{6}\pi \quad のとき \quad x=\sin \cfrac{5}{6}\pi=\cfrac{1}{2},\quad y=\cos \cfrac{2}{3}\pi \sin \cfrac{5}{6}\pi=-\cfrac{1}{2} \times \cfrac{1}{2}=-\cfrac{1}{4}$

$Cのグラフは右図のとおり$


(3)

　

$求める図形の面積を \ S\ とおくと$
\begin{eqnarray*} S &=&-\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\sqrt{3}}{2}}}ydx\\ \\ &=&-\int_{\pi}^{\scriptsize{\cfrac{2}{3}}\normalsize{\pi}}\cos (t-\cfrac{\pi}{6})\sin t \cos tdt\\ \\ &=&\int_{\scriptsize{\cfrac{2}{3}}\normalsize{\pi}}^{\pi} (\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cos t + \cfrac{1}{2}\sin t)\sin t \cos tdt\\ \\ &=&\int_{\scriptsize{\cfrac{2}{3}}\normalsize{\pi}}^{\pi}\big(\cfrac{\sqrt{3}}{2} \cos ^2 t\sin t + \cfrac{1}{2} \sin ^2t \cos t\big)dt\\ \\ &=&\Big[\cfrac{\sqrt{3}}{2}\big(-\cfrac{\cos ^3t}{3}\big) + \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{\sin ^3t}{3} \Big]_{\scriptsize{\cfrac{2}{3}}\normalsize{\pi}}^{\pi} \\ \\ &=&\cfrac{\sqrt{3}}{6}\big(1-\cfrac{1}{8}\big) + \cfrac{1}{6} \times \big(- \cfrac{3\sqrt{3}}{8}\big)\\ \\ &=&\cfrac{\sqrt{3}}{12} \end{eqnarray*}

$(補充)$

$媒介変数 \ t\ を消去するには、\sin t=x \ \ を代入して $
\begin{eqnarray*} y &=&\cos (t-\cfrac{\pi}{6})\sin t \\ \\ &=&(\cos t \cos \cfrac{\pi}{6}+ \sin t \sin \cfrac{\pi}{6} )\sin t \\ \\ &=&(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cos t + \cfrac{1}{2}\sin t)\sin t \\ \\ &=&(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cos t + \cfrac{1}{2}x)x \\ \\ &=&\cfrac{\sqrt{3}}{2}x\cos t + \cfrac{1}{2}x^2 \\ \end{eqnarray*} $よって \quad \cfrac{\sqrt{3}}{2}x\cos t =y- \cfrac{1}{2}x^2 $

$また \quad \cfrac{\sqrt{3}}{2}x\sin t =\cfrac{\sqrt{3}}{2}x^2 $

$これらを平方して加えると$

$(\cfrac{\sqrt{3}}{2}x\cos t)^2+(\cfrac{\sqrt{3}}{2}x\sin t)^2=(y- \cfrac{1}{2}x^2)^2+(\cfrac{\sqrt{3}}{2}x^2)^2 $

$\cfrac{3}{4}x^2=(y- \cfrac{1}{2}x^2)^2+(\cfrac{\sqrt{3}}{2}x^2)^2 $

$\therefore \ \ 4y^2-4x^2y+4x^4-3x^2=0$

　

$これは偶関数だから、グラフは \ y\ 軸に関して対称であることがわかります。$

$実は、x\ 座標が負の部分は、\pi \leqq t \leqq 2\pi \ \ の部分です。$

$これを含めたグラフは右のような蝶が羽を広げたきれいな図になります。$


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