神戸大学(理系) 2023年 問題4
$四面体 \ OABC\ があり、辺 \ OA,\ OB,\ OC\ の長さはそれぞれ \ \sqrt{13},\ 5,\ 5\ である。\vec{OA} \cdot \vec{OB}=\vec{OA} \cdot \vec{OC}=1,$
$\vec{OB}\cdot \vec{OC}=-11 \ \ とする。頂点 \ O\ から \ \triangle ABC \ を含む平面に下ろした垂線とその平面の交点を \ H\ とする。$
$以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ 線分 \ AB\ の長さを求めよ。$
$(2)\ \ 実数 \ s,\ t\ を \ \ \vec{OH}=\vec{OA}+s \vec{AB} + t\vec{AC}\ \ をみたすように定めるとき、s\ と \ t\ の値を求めよ。$
$(3)\ \ 四面体 \ OABC\ の体積を求めよ。$
(1)
\begin{eqnarray*} AB^2 &=&OA^2+OB^2-2OA\cdot OB \cdot \cos \angle AOB\\ \\ &=&|\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 -2 \vec{OA} \cdot \vec{OB} \\ \\ &=&13+25-2 \times 1 \\ \\ &=&36 \end{eqnarray*} $\therefore \ \ AB=6$
(ii)$\ \ \triangle OBC\ \ に余弦定理を用いて \quad \vec{OB} \cdot \vec{OC}=-11 \quad より$
\begin{eqnarray*} BC^2 &=&OB^2+OC^2-2OB\cdot OC \cdot \cos \angle BOC\\ \\ &=&|\vec{OB}|^2 + |\vec{OC}|^2 -2 \vec{OB} \cdot \vec{OC} \\ \\ &=&25+25-2 \times (-11) \\ \\ &=&72 \end{eqnarray*} $\therefore \ \ BC=6\sqrt{2}$
(iii)$\ \ \triangle OCA\ \ に余弦定理を用いて \quad \vec{OA} \cdot \vec{OC}=1 \quad より$
\begin{eqnarray*} CA^2 &=&OC^2+OA^2-2OC\cdot OA \cdot \cos \angle COA\\ \\ &=&|\vec{OC}|^2 + |\vec{OA}|^2 -2 \vec{OC} \cdot \vec{OA} \\ \\ &=&25+13-2 \times 1\\ \\ &=&36 \end{eqnarray*} $\therefore \ \ CA=6$
(i),(ii),(iii)$\ \ より \ \ AB=AC,\quad BC^2=AB^2+AC^2 $
$よって \quad \triangle ABC\ \ は \ \ BC\ を斜辺とする直角二等辺三角形$
(2)
$\vec{AB} \cdot \vec{OA}=(\vec{OB}-\vec{OA}) \cdot \vec{OA}=\vec{OB} \cdot \vec{OA}-|\vec{OA}|^2=1-13=-12$
$\vec{AC} \cdot \vec{OA}=(\vec{OC}-\vec{OA}) \cdot \vec{OA}=\vec{OC} \cdot \vec{OA}-|\vec{OA}|^2=1-13=-12$
$\vec{AB} \cdot \vec{AC}=(\vec{OB}-\vec{OA}) \cdot (\vec{OC}-\vec{OA})=\vec{OB} \cdot \vec{OC}-\vec{OB} \cdot \vec{OA}-\vec{OA} \cdot \vec{OC}+|\vec{OA}|^2=-11-1-1+13=0$
$(別解)$
(i)$\ \ \triangle ABO \ \ に余弦定理を用いて$
$\quad BO^2=AB^2+AO^2-2AB\cdot AO \cdot \cos \angle BAO $
$\quad AB\cdot AO \cdot \cos \angle BAO =\cfrac{1}{2}(AB^2+AO^2-BO^2)$
$\quad |\vec{AB}| \cdot |\vec{AO}| \cdot \cos \angle BAO =\cfrac{1}{2}(|\vec{AB}|^2+|\vec{AO}|^2-|\vec{BO}|^2)$
$\quad \vec{AB} \cdot \vec{AO}=\cfrac{1}{2}(|\vec{AB}|^2+|\vec{AO}|^2-|\vec{BO}|^2)=\cfrac{1}{2}(36+13-25)=12$
$\quad \therefore \ \ \vec{AB} \cdot \vec{OA}=-\vec{AB} \cdot \vec{AO}=-12$
(ii)$\ \ \triangle ACO \ \ に余弦定理を用いると$
$\quad \vec{AC} \cdot \vec{AO}=\cfrac{1}{2}(|\vec{AC}|^2+|\vec{AO}|^2-|\vec{CO}|^2)=\cfrac{1}{2}(36+13-25)=12$
$\quad \therefore \ \ \vec{AC} \cdot \vec{OA}=-\vec{AC} \cdot \vec{AO}=-12$
(iii)$\ \ (1)より \ \ \triangle ABC \ \ は \ \ \angle BAC=90 °\ \ だから \ \ \vec{AB} \cdot \vec{AC}=0$
$また \quad OH \perp \triangle ABC \quad より \quad OH \perp AB,\quad OH \perp AC$
(i)$\ \ \vec{OH} \perp \vec{AB} \quad より$
$\quad \vec{AB} \cdot \vec{OH}=0$
$\quad \vec{AB} \cdot (\vec{OA}+s\vec{AB}+t\vec{AC}) =0$
$\quad \vec{AB} \cdot \vec{OA} + s\vec{AB} \cdot \vec{AB} +t\vec{AB} \cdot \vec{AC}=0$
$\quad -12+36s =0 \qquad s=\cfrac{12}{36}=\cfrac{1}{3}$
(ii)$\ \ \vec{OH} \perp \vec{AC} \quad より$
$\quad \vec{AC} \cdot \vec{OH}=0$
$\quad \vec{AC} \cdot (\vec{OA}+s\vec{AB}+t\vec{AC}) =0$
$\quad \vec{AC} \cdot \vec{OA} + s\vec{AC} \cdot \vec{AB} +t\vec{AC} \cdot \vec{AC}=0$
$\quad -12+36t =0 \qquad t=\cfrac{12}{36}=\cfrac{1}{3}$
$よって \quad s=t=\cfrac{1}{3}$
(3)
$(2)より \quad \vec{OH}=\vec{OA}+\cfrac{1}{3}\vec{AB}+\cfrac{1}{3}\vec{AC}$
\begin{eqnarray*} |\vec{OH}|^2 &=&|\vec{OA}+\cfrac{1}{3}\vec{AB}+\cfrac{1}{3}\vec{AC}|^2\\ \\ &=&|\vec{OA}|^2+\cfrac{1}{9}|\vec{AB}|^2+\cfrac{1}{9}|\vec{AC}|^2+\cfrac{2}{3}\vec{OA}\cdot \vec{AB}+\cfrac{2}{9}\vec{AB}\cdot \vec{AC}+\cfrac{2}{3}\vec{AC}\cdot \vec{OA}\\ \\ &=&13+\cfrac{1}{9} \times 36+\cfrac{1}{9} \times 36+\cfrac{2}{3} \times (-12) + \cfrac{2}{3} \times (-12)\\ \\ &=&5 \end{eqnarray*} $\therefore \ \ OH=\sqrt{5}$
\begin{eqnarray*} & &四面体 \ OABC\ の体積\\ \\ &=&\cfrac{1}{3}\times \triangle ABC \times OH\\ \\ &=&\cfrac{1}{3}\times \big(\cfrac{1}{2} \times AB \times AC \big) \times OH\\ \\ &=&\cfrac{1}{6} \times 6 \times 6 \times \sqrt{5}\\ \\ &=&6\sqrt{5} \end{eqnarray*}
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