神戸大学(理系) 2023年 問題3
$n\ を \ 2\ 以上の整数とする。袋の中には \ 1\ から \ 2n\ までの整数が \ 1\ つずつ書いてある \ 2n\ 枚のカードが$
$入っている。以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ この袋から同時に \ 2\ 枚のカードを取り出したとき、そのカードに書かれている数の和が偶数である$
$\quad 確率を求めよ。$
$(2)\ \ この袋から同時に \ 3\ 枚のカードを取り出したとき、そのカードに書かれている数の和が偶数である$
$\quad 確率を求めよ。$
$(3)\ \ この袋から同時に \ 2\ 枚のカードを取り出したとき、そのカードに書かれている数の和が \ 2n+1\ 以上$
$\quad である確率を求めよ。$
(1)
$2n\ 枚のカードのうち、奇数は \ n\ 枚、偶数は \ n\ 枚であるから$
$2\ 枚の数の和が偶数である事象は$
(i)$\ \ 2枚とも偶数である場合 \quad {}_nC_2 \ \ 通り$
(ii)$\ \ 2枚とも奇数である場合 \quad {}_nC_2 \ \ 通り$
(i),(ii)$\ \ は互いに排反であるから求める確率は$
\begin{eqnarray*} P &=&\cfrac{{}_nC_2 + {}_nC_2}{{}_{2n}C_2}\\ \\ &=&\cfrac{2{}_nC_2}{{}_{2n}C_2}\\ \\ &=&\cfrac{2 \times \dfrac{n(n-1)}{2}}{\dfrac{2n(2n-1)}{2}}\\ \\ &=&\cfrac{n-1}{2n-1} \end{eqnarray*}
$(別解)$
$数の和が奇数になるのは、1\ 枚偶数、もう \ 1\ 枚が奇数の場合で、$
$その確率は \quad \cfrac{n \times n }{{}_{2n}C_2}=\cfrac{n}{2n-1}$
$数の和が偶数である事象はこの余事象だから求める確率は、$
$\quad P=1-\cfrac{n}{2n-1}=\cfrac{n-1}{2n-1}$
(2)
$3枚の数の和が偶数である事象は$
(i)$\ \ 3\ 枚とも偶数である場合 \quad {}_nC_3 \ \ 通り$
(ii)$\ \ 1\ 枚偶数、2\ 枚奇数である場合 \quad {}_nC_1 \times {}_nC_2 \ \ 通り$
(i),(ii)$\ \ は互いに排反であるから求める確率は$
\begin{eqnarray*} P &=&\cfrac{{}_nC_3 + {}_nC_1 \times {}_nC_2}{{}_{2n}C_3}\\ \\ &=&\cfrac{\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}+ n \times \dfrac{n(n-1)}{2}}{\dfrac{2n(2n-1)(2n-2)}{6}}\\ \\ &=&\cfrac{n(n-1)(n-2)+3n^2(n-1)}{4n(2n-1)(n-1)}\\ \\ &=&\cfrac{(n-2)+3n}{4(2n-1)}\\ \\ &=&\cfrac{2(2n-1)}{4(2n-1)}\\ \\ &=&\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*}
(3)
$引いた2\ 枚のカードの数字を\ (i,\ j) \ \ (i < j )\ \ とすると、和が \ 2n \ 以下である事象は$
$(1,\ 2),\ (1,\ 3), \ \cdots , \ (1,\ 2n-1) \quad で \quad (2n-1)-2+1=2n-2 \ \ 通り$
$(2,\ 3),\ (2,\ 4), \ \cdots , \ (2,\ 2n-2) \quad で \quad (2n-2)-3+1=2n-4 \ \ 通り$
$(3,\ 4),\ (3,\ 5), \ \cdots , \ (3,\ 2n-3) \quad で \quad (2n-3)-4+1=2n-6 \ \ 通り$
$ \hspace{5em} \vdots $
$(n-1,\ n),\ (n-1,\ n+1) \quad で \quad 2 \ \ 通り$
$全部で$
$2+4+ \cdots +(2n-4)+(2n-2)=2\{1+2+\cdots +(n-2)+(n-1)\}=2 \times \cfrac{(n-1) \times n}{2}=n(n-1)\ \ 通り$
$2\ 枚のカードの和が \ 2n \ 以下である確率は \ Q\ は$
$\quad Q=\cfrac{n(n-1)}{{}_{2n}C_2}=\cfrac{n(n-1)}{\dfrac{2n(2n-1)}{2}}=\cfrac{n-1}{2n-1}$
$したがって \quad 2\ 枚のカードの和が \ 2n+1\ 以上である確率 \ P\ は$
$\quad P=1-Q=1-\cfrac{n-1}{2n-1}=\cfrac{n}{2n-1}$
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