神戸大学(理系) 2023年　問題2


$a,\ b\ を実数とする。整式 \ f(x)\ を \ \ f(x)=x^2+ax+b \ \ で定める。以下の問に答えよ。ただし、2\ 次方程式の$
$重解は \ 2\ つと数える。$
$(1)\ \ 2\ 次方程式 \ \ f(x)=0\ \ が異なる \ 2\ つの正の解をもつための \ a,\ b\ がみたすべき必要十分条件を求めよ。$
$(2)\ \ 2\ 次方程式 \ \ f(x)=0\ \ の \ 2\ つの解の実部が共に \ 0\ より小さくなるような点 \ (a,\ b)\ の存在する範囲を$
$\quad \ ab\ 平面上に図示せよ。$
$(3)\ \ 2\ 次方程式 \ \ f(x)=0\ \ の \ 2\ つの解の実部が共に \ -1\ より大きく、0\ より小さくなるような点 \ (a,\ b)\ の$
$\quad 存在する範囲を \ ab\ 平面上に図示せよ。$


(1)

　

$f(x)=0\ \ が異なる \ 2\ つの正の解をもつのは \ y=f(x)\ のグラフが$

$右図のような場合で、そのための必要十分条件は$

(i)$\ \ f(x)=0\ \ の判別式について$

$\quad D \geqq 0 \quad より \quad a^2-4b \geqq 0\quad \therefore \ \ b \leqq \cfrac{a^2}{4}$

(ii)$\ \ 軸\ \ について$

$\quad -\cfrac{a}{2} > 0 \quad \therefore \ \ a < 0$

　

(iii)$\ \ 端点の値について$

$\quad f(0)>0 \quad より \quad b>0$

(i),(ii),(iii)$をみたす\ a,\ b\ は$

$\quad a < 0, \quad 0 < b \leqq \cfrac{a^2}{4}$

$なお、点 \ (a,\ b)\ の存在する範囲は右図のとおり$

$境界は、 b =\cfrac{a^2}{4}\ \ は含み、a\ 軸は含まない(原点も)$


(2)

　

(i)$\ \ 実数解をもつ場合$

$\quad f(x)=0\ \ の判別式 について \quad D \geqq 0 \quad より \quad b \leqq \cfrac{a^2}{4}$

$\quad \ \ 軸について \quad -\cfrac{a}{2} < 0 \qquad a > 0$

$\quad \ \ 端点の値について \quad f(0)>0 \quad より \quad b > 0$

$\quad よって \quad a > 0, \quad 0 < b \leqq \cfrac{a^2}{4}$

　

(ii)$\ \ 虚数解をもつ場合$

$\quad D < 0 \quad より \quad b > \cfrac{a^2}{4}$

$\quad 2\ つの解を \ \ \alpha =p+qi,\ \ \beta =p-qi \quad とおくと$

$\quad \alpha + \beta =2p < 0 $

$\quad 解と係数の関係より \quad \alpha +\beta =-a \quad よって \quad a > 0$

$求める領域は右図のとおりである。$

$境界は、a軸、b軸、原点を含まない。$


(3)

　

(i)$\ \ 実数解をもつ場合$

$\quad f(x)=0 \ の判別式 について \quad D \geqq 0 \quad より \quad b \leqq \cfrac{a^2}{4}$

$\quad \ \ 軸について \quad -1 < -\cfrac{a}{2} < 0 \quad \therefore \ \ 0 < a < 2$

$\quad 端点の値について$

$\qquad f(0) > 0 \quad より \quad b > 0$

$\qquad f(-1) > 0 \quad より \quad 1-a+b > 0 \qquad a-b < 1$

　

$\quad なお、b=\cfrac{a^2}{4}\ \ と \ \ 1-a+b=0 \ \ の交点は$

$\quad \cfrac{a^2}{4}=a-1 \qquad a^2-4a+4=0 $

$\quad (a-2)^2=0 \quad a=2\ \ を重解にもつから \ \ a=2\ \ で接する。$

$\quad 実数解をもつ領域は右図のとおりである。$

(ii)$\ \ 虚数解をもつ場合$

$\quad D < 0 \quad より \quad b > \cfrac{a^2}{4}$

　

$\quad 2つの解を \ \ \alpha =p+qi,\ \ \beta =p-qi \quad とおくと$

$\quad \alpha + \beta =2p $

$\quad 解と係数の関係より \quad \alpha +\beta =-a$

$\quad よって \quad -2 < -a <0 \quad \therefore \ \ 0 < a < 2$

$\quad 虚数解をもつ領域は右図のとおりである。$


(i),(ii)$\ \ を合わせた領域が求める領域だから$

$その図は右図のとおりである。$

$境界は、b=a-1,\ \ a=2,\ \ a軸,\ \ b軸,\ \ 原点を含まない。$


　


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