神戸大学(理系) 2023年　問題1


\[関数 \ f(x)\ を \hspace{1em} f(x)= \left\{ \begin{array}{l} \cfrac{1}{2}x+\cfrac{1}{2} \ \ (x \leqq 1)\\ 2x-1 \ \quad (x > 1) \end{array} \right. \quad で定める。 \] $a\ を実数とし、数列 \ \{a_n\}\ を \ a_1=a,\ \ a_{n+1}=f(a_n) \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )\ \ で定める。以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ すべての実数 \ x\ について \ \ f(x) \geqq x \ \ が成り立つことを示せ。$
$(2)\ \ a \leqq 1 \ \ のとき、すべての正の整数 \ n\ について \ \ a_n \leqq 1\ \ が成り立つことを示せ。$
$(3)\ \ 数列 \ \{a_n\}\ の一般項を \ n\ と \ a\ を用いて表せ。$


(1)

　

$右図のグラフから明らかであるが、次のように証明できます。$

(i)$\ \ x \leqq 1 のとき$

$\quad \big(\cfrac{1}{2}x+\cfrac{1}{2}\big)-x= \cfrac{1}{2}(1- x) \geqq 0 $

$\quad \therefore \ \ \cfrac{1}{2}x+\cfrac{1}{2} \geqq x$

(ii)$\ \ x > 1 のとき$

$\quad (2x-1) -x= x-1 >0$

$\quad \therefore \ \ 2x-1 > x$

(i),(ii)$\ \ より、すべての実数 \ x\ について \ \ f(x) \geqq x \ \ が成り立つ。$


(2)


$数学的帰納法で示す。$

(i)$\ \ n=1 \quad のとき$

$\quad a_1=a \leqq 1 \quad だから成り立つ。$

(ii)$\ \ n=k \quad のとき成り立つとすると\quad a_k \leqq 1 $

$\quad このとき$
\begin{eqnarray*} \quad a_{k+1} &=&f(a_k)\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}a_k+\cfrac{1}{2}\\ \\ & \leqq & \cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2}\\ \\ &=&1 \end{eqnarray*} $\quad よって　\quad n=k+1 \ \ のときも成り立つ。$

(i),(ii)$\ \ より\ \ a \leqq 1 \ \ のとき、すべての正の整数 \ n\ について \ \ a_n \leqq 1\ \ が成り立つ。$


(3)


$まず、(2)にならって、$

$a > 1 \ \ のとき、すべての正の整数 \ n\ について \ \ a_n >1 \ \ が り立つことを数学的帰納法で示す。$

(i)$\ \ n=1 \quad のとき$

$\quad a_1=a > 1 \quad だから成り立つ。$

(ii)$\ \ n=k \quad のとき成り立つとすると \quad a_k > 1$

$このとき$

\begin{eqnarray*} \quad a_{k+1} &=&f(a_k)\\ \\ &=&2a_k - 1\\ \\ &>&2-1\\ \\ &=&1 \end{eqnarray*} $よって \quad n=k+1 \ \ のときも成りたつ。$

(i),(ii)$\ \ より \ \ a > 1 \ \ のとき、すべての正の整数 \ n\ について \ \ a_n > 1\ \ が成り立つ。$


$次に、数列 \ \{a_n\}\ の一般項を求める。$

(i)$\ \ a \leqq 1 \quad のとき$

$\quad (2)より \quad a_n \leqq 　1 \quad だから$

$\quad a_{n+1}=f(a_n)=\cfrac{1}{2}a_n+\cfrac{1}{2}$

$\quad \alpha =\cfrac{1}{2}\alpha +\cfrac{1}{2} \quad をみたす \ \alpha \ は \ \ \alpha =1$

$\quad 辺々引いて$

$\quad a_{n+1} -\alpha =\cfrac{1}{2}(a_n -\alpha)$

$\quad a_{n+1} - 1=\cfrac{1}{2}(a_n -1)$

$\quad a_n-1=(a_1-1)\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1}$

$\quad a_n=1+(a-1)\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1}$


(ii)$\ \ a > 1 \quad のとき$

$\quad 上で示したように \quad a_n > 1 \quad だから$

$\quad a_{n+1}=f(a_n)=2a_n -1 $

$\quad \beta =2\beta -1 \quad をみたす \ \beta \ は \ \ \beta =1$

$\quad 辺々引いて$

$\quad a_{n+1} -\beta =2(a_n -\beta)$

$\quad a_{n+1} - 1=2(a_n -1)$

$\quad a_n-1=(a_1-1)2^{n-1}$

$\quad a_n=1+(a-1)2^{n-1}$

(i),(ii)$\ \ より$

\[ \hspace{1em} a_n= \left\{ \begin{array}{l} 1+(a-1)\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1} \quad (a \leqq 1 \ \ のとき)\\ 1+(a-1)2^{n-1} \ \qquad (a > 1 \ \ のとき)\\ \end{array} \right. \]

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