神戸大学(理系) 2022年 問題5
$a,\ b\ を実数、p\ を素数とし、1 < a < b \ \ とする。以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ x,\ y,\ z\ を \ 0\ でない実数とする。a^x=b^y=(ab)^z \ \ ならば \ \ \cfrac{1}{x}+ \cfrac{1}{y}= \cfrac{1}{z} \ \ であることを示せ。$
$(2)\ \ m,\ n\ を \ m > n \ \ をみたす自然数とし、\cfrac{1}{m}+ \cfrac{1}{n}= \cfrac{1}{p} \ \ とする。m,\ n\ の値を \ p\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ m,\ n\ を自然数とし、 a^m=b^n=(ab)^p \ \ とする。b\ の値を \ a,\ p\ を用いて表せ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 指数・対数でよく見かける問題です。$
$(2)\ \ この形の不定方程式もよく見かけます。$
$(3)\ \ (1)と(2)をつかって求めます。$
(1)
$a^x=b^y=(ab)^z \ \ の常用対数をとって \ \ x\log a=y\log b=z(\log a+\log b)=k \quad とおくと$
$\quad \cfrac{1}{x}=\cfrac{\log a}{k},\quad \cfrac{1}{y}=\cfrac{\log b}{k},\quad \cfrac{1}{z}=\cfrac{\log a +\log b}{k}$
$よって \quad \cfrac{1}{x}+ \cfrac{1}{y} = \cfrac{\log a}{k}+ \cfrac{\log b}{k}=\cfrac{\log a +\log b}{k}=\cfrac{1}{z}$
(2)
$\cfrac{1}{m}+ \cfrac{1}{n}= \cfrac{1}{p} \quad の分母をはらって \qquad np+mp=mn$
$mn-mp-np=0 \qquad (m-p)(n-p)=p^2$
$m > n \quad より \quad m-p > n-p \quad で \ p\ は素数だから$
$m-p=p^2,\qquad n-p=1$
$よって\quad m=p^2+p,\qquad m=p+1$
(3)
$a^m=b^n \quad の両辺の常用対数をとって \quad m\log a=n\log b$
$\cfrac{\log a}{\log b}=\cfrac{n}{m} \qquad 1 < a < b \quad だから \quad \cfrac{\log a}{\log b} < 1 \quad \therefore \ \ \cfrac{n}{m} < 1 \quad よって \quad 0 < n < m $
$a^m=b^n=(ab)^p \quad だから \ \ (1)より \quad \cfrac{1}{m} + \cfrac{1}{n} = \cfrac{1}{p}$
$n < m \quad だから \ (2)より \quad m=p^2+p , \quad n=p+1$
$a^m=b^n \quad に代入して \quad a^{p^2+p}=b^{p+1}$
$b^{p+1}=a^{p(p+1)}$
$したがって \quad b=a^p$
$このとき \quad (ab)^p=a^p\cdot b^p=a^p(a^p)^p=a^{p^2+p}=a^m \quad となって確かに成りたつ。$
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