神戸大学(理系) 2022年 問題4
$a\ を正の実数とし、双曲線 \ \cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{4}=1 \ と直線 \ y=\sqrt{a}x+\sqrt{a} \ が異なる \ 2\ 点 \ P,\ Q\ で交わっているとする。$
$線分 \ PQ\ の中点を \ R(s,\ t)\ とする。以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ a\ のとりうる値の範囲を求めよ。$
$(2)\ \ s,\ t\ の値を \ a\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ a\ が(1)で求めた範囲を動くときに \ s\ のとりうる値の範囲を求めよ。$
$(4)\ \ t\ の値を \ s\ を用いて表せ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 双曲線と直線の方程式から \ x\ の \ 2\ 次方程式を導き、異なる \ 2\ つの実数解をもつ条件を求めます。$
$(2)\ \ (1)で求めた \ 2\ 次方程式で解と係数の関係をつかいます。$
$(3)\ \ s\ は直角双曲線になりますので、グラフをかいてとりうる値の範囲を求めます。$
$(4)\ \ (2)で求めた \ s,\ t\ から \ a\ を消去します。$
(1)
$双曲線と直線が異なる \ 2\ 点で交わるから直線は双曲線の漸近線 \ \ y=x\ と平行でない。$
$よって \quad \sqrt{a} \ne 1 \quad すなわち \quad a \ne 1$
$このとき交点は$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} x^2-y^2=4\\ y=\sqrt{a}(x+1)\\ \end{array} \right. \] $y\ を代入して \quad x^2-a(x+1)^2=4$
$(1-a)x^2-2ax-(a+4)=0 \hspace{4em}①$
$\cfrac{D}{4}=a^2+(1-a)(a+4)>0$
$3a < 4 \qquad \therefore \ \ a <\cfrac{4}{3}$
$a\ は正の実数だから \quad 0 < a < \cfrac{4}{3} \quad (ただし \ \ a \ne 1)$
$2\ 点 \ P,\ Q\ と中点 \ R\ の位置関係は次のとおりである。$
$\hspace{6em} 0 < a < 1\ \ のとき \hspace{18em} 1 < a < \cfrac{4}{3} \ \ のとき$
(2)
$P(x_1,\ y_1),\ Q(x_2,\ y_2)\ とおくと、これらの \ x\ 座標は①の解だから$
$解と係数の関係を用いて \quad s=\cfrac{x_1+x_2}{2}=\cfrac{a}{1-a}$
$R(s,\ t)\ は直線上の点だから \quad t=\sqrt{a}(s+1)=\sqrt{a}\big(\cfrac{a}{1-a}+1\big)=\cfrac{\sqrt{a}}{1-a}$
(3)
$s=\cfrac{a}{1-a}=-1+\cfrac{1}{1-a}$
$a=0\ \ のとき \ \ s=0,\qquad a=\cfrac{4}{3} \ \ のとき \ \ s=\cfrac{4}{3} \times \cfrac{1}{1-\dfrac{4}{3}}=-4$
$グラフは右のとおりで、s\ のとりうる値の範囲は$
$\quad 0< a < 1 \ \ のとき \ \ s > 0,\qquad 1 < a <\cfrac{4}{3}\ \ のとき \ \ s <-4$
(4)
$(2)で求めた \ s,\ t\ について$
$\quad s=\cfrac{a}{1-a}\quad を \ a\ について解くと$
$\quad s(1-a)=a \qquad a(s+1)=s \qquad a=\cfrac{s}{s+1}$
$これを \quad t=\cfrac{\sqrt{a}}{1-a} \quad に代入して$
$\quad t=\sqrt{\cfrac{s}{s+1}} \times \cfrac{1}{1-\dfrac{s}{s+1}}=\sqrt{\cfrac{s}{s+1}} \times (s+1)=\sqrt{s(s+1)}$
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