神戸大学(理系) 2022年 問題1
$数列\ \{a_n\}\ を \ a_1=1.\ a_2=2,\ a_{n+2}=\sqrt{a_{n+1}\cdot a_n}\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)\ によって定める。以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ すべての自然数 \ n\ について \ \ a_{n+1}=\cfrac{2}{\sqrt{a_n}}\ \ が成りたつことを示せ。$
$(2)\ \ 数列 \ \{b_n\}\ を \ b_n=\log a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )\ によって定める。b_n\ の値を \ n\ を用いて表せ。$
\[(3)\ \ 極限値 \ \ \lim _{n \rightarrow \infty} a_n \ \ を求めよ。\]
$(解説)$
$(1)\ \ 隣接 \ 3\ 項間の漸化式から \ 2\ 項間の漸化式を導くだけです。いくつかの方法が考えられます。$
$(2)\ \ (1)の解法 \ 3\ の続きです。実質 \ \{a_n\}\ を求めることになります。$
\[(3)\ \ まず、\lim _{n \rightarrow \infty} b_n \ \ を求めます。\]
(1)
$解 \ 1 \quad 数学的帰納法による証明$
(i)$\ \ n=1 \ \ のとき$
$\quad a_2=\cfrac{2}{\sqrt{a_1}}=2 \quad だから \quad n=1\ のとき成り立つ。$
(ii)$\ \ n=k\ \ のとき成り立つとすると \qquad a_{k+1}=\cfrac{2}{\sqrt{a_k}} \quad より \quad \sqrt{a_k}=\cfrac{2}{a_{k+1}}$
$\quad このとき$
$\qquad a_{k+2}=\sqrt{a_{k+1}\cdot a_k}=\sqrt{a_{k+1}} \times \cfrac{2}{a_{k+1}}=\cfrac{2}{\sqrt{a_{k+1}}}$
$\quad よって \quad n=k+1\ \ のときも成り立つ。$
(i),(ii)$よりすべての自然数 \ n\ について \quad a_{n+1}=\cfrac{2}{\sqrt{a_n}} \ \ が成りたつ。$
$解 \ 2 \quad 漸化式を導く解法$
$\quad a_{n+2}=\sqrt{a_{n+1}\cdot a_n} \quad の両辺に \quad \sqrt{a_{n+1}} \quad をかけて$
$\quad a_{n+2} \sqrt{a_{n+1}} = a_{n+1} \sqrt{a_n}$
$\quad 繰り返して \quad a_{n+1} \sqrt{a_n}=a_n \sqrt{a_{n-1}}=a_{n-1} \sqrt{a_{n-2}}=\cdots = a_2 \sqrt{a_1}=2$
$\quad よって \quad a_{n+1}=\cfrac{2}{\sqrt{a_n}} \quad が成りたつ。$
$解 \ 3 \quad 対数をとって漸化式を導く解法$
$\quad a_{n+2}=\sqrt{a_{n+1}\cdot a_n} \quad の両辺に常用対数をとって$
$\quad \log a_{n+2}=\cfrac{1}{2}\log a_{n+1} + \cfrac{1}{2}\log a_n $
$\quad 両辺に \quad \cfrac{1}{2}\log a_{n+1} \quad を加えて$
$\quad \log a_{n+2} + \cfrac{1}{2}\log a_{n+1}=\log a_{n+1} + \cfrac{1}{2}\log a_n $
$\quad 繰り返して \quad \log a_{n+1} + \cfrac{1}{2}\log a_n=\log a_n + \cfrac{1}{2}\log a_{n-1}= \cdots =\log a_2 + \cfrac{1}{2}\log a_1=\log 2 $
$\quad よって \quad \log a_{n+1} =\log 2 - \cfrac{1}{2}\log a_n=\log \cfrac{2}{\sqrt{a_n}}$
(2)
$a_{n+1} =\cfrac{2}{\sqrt{a_n}} \quad の両辺の対数をとって \quad \log a_{n+1} =\log 2 - \cfrac{1}{2}\log a_n$
$b_n=\log a_n \quad だから \quad b_{n+1}=\log 2 -\cfrac{1}{2}b_n$
$特性方程式 \quad t=\log 2 -\cfrac{1}{2}t \quad を解いて \quad t=\cfrac{2}{3}\log 2$
$辺々引いて \quad b_{n+1} - \cfrac{2}{3}\log 2=-\cfrac{1}{2}(b_n -\cfrac{2}{3}\log 2)$
\begin{eqnarray*} \quad b_n &=&\cfrac{2}{3}\log 2+(-\cfrac{1}{2})^{n-1}(b_1-\cfrac{2}{3}\log 2)\\ \\ &=&\cfrac{2}{3}\log 2+(-\cfrac{1}{2})^{n-1}(\log a_1-\cfrac{2}{3}\log 2)\\ \\ &=&\cfrac{2}{3}\log 2(1-(-\cfrac{1}{2})^{n-1})\\ \end{eqnarray*}
(3)
$\quad n \longrightarrow \infty \quad のとき \quad (-\cfrac{1}{2})^{n-1} \longrightarrow 0 \quad だから \quad b_n \longrightarrow \cfrac{2}{3}\log 2=\log 2^{\scriptsize{\cfrac{2}{3}}}$
\[\quad したがって \quad \lim _{n \rightarrow \infty} a_n =2^{\scriptsize{\cfrac{2}{3}}}=\sqrt[3]{4}\]
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