神戸大学(理系) 2021年 問題1
$i\ を虚数単位とする。以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ n=2,\ 3,\ 4,\ 5\ のとき \ \ (2+i)^n \ \ を求めよ。またそれらの虚部の整数を\ 10\ で割った余りを求めよ。$
$(2)\ \ n\ を正の整数とするとき \ \ (2+i)^n\ \ は虚数であることを示せ。$
$(解説)$
$(1)はいくつかの方法がありますが、簡単に求まります。$
$(2)は(1)の結果から予想して証明することになります。$
(1)
$求める方法は \ 3\ つ考えられます。$
(i)$\ \ 二項定理による方法$
$\quad (2+i)^2=2^2+2\cdot 2 \cdot i + i^2=3+4i$
$\quad (2+i)^3=2^3+3\cdot 2^2 \cdot i + 3\cdot 2 \cdot i^2 +i^3=8+12i-6-i=2+11i$
$\quad (2+i)^4=2^4+4\cdot 2^3 \cdot i + 6\cdot 2^2 \cdot i^2 +4\cdot 2 \cdot i^3+i^4=16+32i-24-8i+1=-7+24i$
$\quad (2+i)^5=2^5+5\cdot 2^4 \cdot i + 10\cdot 2^3 \cdot i^2 +10\cdot 2^2 \cdot i^3+5 \cdot 2 \cdot i^4+i^5=32+80i-80-40i+10+i=-38+41i$
(ii)$\ \ 累乗による方法$
$\quad (2+i)^3=(2+i)^2(2+i)=(3+4i)(2+i)=2+11i$
$\quad (2+i)^4=(2+i)^3(2+i)=(2+11i)(2+i)=-7+24i$
$\quad (2+i)^5=(2+i)^4(2+i)=(-7+24i)(2+i)=-38+41i$
(iii)$\ \ 漸化式による方法$
$\quad (2+i)^n=a_n+b_ni \quad とおくと \quad (2+i)^{n+1}=a_{n+1}+b_{n+1}i \quad であるが $
$\quad (2+i)^{n+1}=(2+i)^n(2+i)=(a_n+b_ni)(2+i)=(2a_n-b_n)+(a_n+2b_n)i \quad だから$
$\qquad a_{n+1}=2a_n-b_n ,\quad b_{n+1}= a_n+2b_n \quad ただし \quad a_1=2,\quad b_1=1$
$これを用いて$
$\quad a_2=2a_1-b_1=4-1=3,\hspace{6em} b_2=a_1+2b_1=2+2=4$
$\quad a_3=2a_2-b_2=6-4=2,\hspace{6em} b_3=a_2+2b_2=3+8=11$
$\quad a_4=2a_3-b_3=4-11=-7,\hspace{5em} b_4=a_3+2b_3=2+22=24$
$\quad a_5=2a_4-b_4=-14-24=-38,\hspace{3em} b_5=a_4+2b_4=-7+48=41$
$虚部を\ 10\ で割った余りは、順に \ \ 4,\ 1,\ 4,\ 1\ \ である。$
(2)
$まず、b_n \ についての漸化式を導きます。$
$\quad b_{n+1}= a_n + 2b_n \quad より \quad a_n=b_{n+1}-2b_n $
$\quad これを \quad a_{n+1}=2a_n-b_n \quad に代入して$
$\quad b_{n+2}-2b_{n+1}=2(b_{n+1}-2b_n)-b_n$
$\quad b_{n+2}=4b_{n+1}-5b_n \quad ただし\quad b_1=1,\quad b_2=4$
$次に、数列 \ \{b_n\}\ を \ 10\ で割った余りが、n\ が奇数のとき \ 1,\ \ n\ が偶数のとき \ 4\ となることを数学的帰納法で証明する。$
(i)$\ \ b_1=1,\quad b_2=4 \quad である。$
(ii)$\ \ 10を法として \quad b_{2k-1} \equiv 1 \quad b_{2k} \equiv 4 \quad とすると\ \ (法については($合同式$)を参考にしてください。)$
$\qquad b_{2k+1}=4b_{2k}-5b_{2k-1} \equiv 4 \times 4 -5 \times 1=11 \equiv 1$
$\qquad b_{2k+2}=4b_{2k+1}-5b_{2k} \equiv 4 \times 1 -5 \times 4=-16 \equiv 4$
$よって n=2k+1,\ \ n=2k+2 \ \ のときも成りたつ$
(i),(ii)$より \quad b_n\ を \ 10\ で割った余りは、n\ が奇数のとき \ 1,\ \ n\ が偶数のとき \ 4\ となる。$
$すなわち すべての自然数 \ n\ について \quad b_n \ne 0 \quad だから \quad (2+i)^n \ \ は虚数である。$
$(注意!!)$
$数列 \ \{b_n\}\ は \ \ 1,\ 4,\ 11,\ 24,\ 41 \ \ と単調増加数列のように思える。$
$ところが$
$\quad b_6=4b_5-5b_4=4 \times 41 -5 \times 24=44$
$\quad b_7=4b_6-5b_5=4 \times 44 -5 \times 41=-29$
$となって、突然減少に転ずる。初めの数項をみて \ \ b_n > 0 \ \ と断定するのは危険です。$
$(研究)$
$(3+i)^n \ \ の虚数部分について、同様なことがいえるか考えてみましょう。$
$\quad (3+i)^{n+1}=(3+i)^n(3+i)=(a_n+b_ni)(3+i)=(3a_n-b_n)+(a_n+3b_n)i \quad だから$
$\qquad a_{n+1}=3a_n-b_n,\quad b_{n+1}=a_n+3b_n \quad ただし \quad a_1=3,\ \ b_1=1$
$\qquad これをつかって \quad b_2=a_1+3b_1=3+3 \times 1=6$
$\quad 漸化式は$
$\qquad a_n=b_{n+1}-3b_n \quad を第1式に代入して$
$\qquad b_{n+2}-3b_{n+1}=3(b_{n+1}-3b_n)-b_n$
$\qquad b_{n+2}=6b_{n+1}-10b_n$
$この漸化式に代入して$
$\qquad b_3=6b_2-10b_1=6 \times 6-10 \times 1=26$
$\qquad b_4=6b_3-10b_2=6 \times 26-10 \times 6=96$
$\qquad b_5=6b_4-10b_3=6 \times 96-10 \times 26=316$
$\hspace{3em} \vdots$
$10を法として$
$\quad b_2 \equiv 6,\quad b_3 \equiv 6,\quad b_4 \equiv 6,\quad b_5 \equiv 6 \quad となることがわかりましたので$
$\quad n \geqq 2 \quad として \quad b_n \equiv 6 \quad となることを数学的帰納法で証明します。$
$\qquad b_k \equiv 6,\quad b_{k+1} \equiv 6 \quad とすると$
$\qquad b_{k+2}=6b_{k+1}-10b_k \equiv =6 \times 6 -10 \times 6 =-24 \equiv 6$
$\quad よって、b_n \equiv 6 \ \ (n \geqq 2 )$
$それでは、一般に \ \ (p+i)^n \ \ の虚部について同様のことがいえるかですが、これは無理なようです。$
$途中省略しますが$
$\quad a_{n+1}=pa_{n+1}-b_n,\quad b_{n+1}=a_n+pb_n ,\quad b_1=1,\quad b_2=2p$
$\qquad b_3=3p^2-1,\ \ b_4=4p^3-4p,\ \ \cdots $
$ですから、適当な法をとっても、同じような値にはなりそうもありません。$
メインメニュー に戻る