神戸大学(理系) 2020年　問題2


$\theta \ を \ \ 0 < \theta < \cfrac{\pi}{2}\ \ をみたす実数とし、原点 \ O,\ A(1,0),\ B(\cos 2\theta,\sin 2\theta)\ \ を頂点とする\triangle OABの内接円の中心を$
$Pとする。また、\theta \ がこの範囲を動くときに点Pが描く曲線と線分OAによって囲まれた部分をDとする。$
$以下の問いに答えよ。$
$\ (1)\ \ 点Pの座標は \ \Big(1-\sin \theta,\ \cfrac{\sin \theta \cos \theta}{1+\sin \theta}\Big) \ で表されることを示せ。$
$\ (2)\ \ Dをx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。$


$(解説)$

$(1)三角形の内接円の半径を求めるには、その三角形を内心で3分割し、面積を求める方法が定石です。$
$\quad 点Pの座標が与えられた分、計算があっているかどうか確認ができますし、これが求まらなくても$
$\quad (2)の体積の計算に進めます。$
$(2)媒介変数表示の増減表で、xがこの区間で常に負だから\theta の増加にともなってx座標は負の方向に進みます。$

(1)

　
$\triangle OABの内接円の中心をP(a,b),半径を \ r\ とおく。$

$\triangle OAP+\triangle ABP+\triangle BOP=\triangle OAB \quad より$

$\cfrac{1}{2}\times OA \times r+\cfrac{1}{2} \times AB \times r+\cfrac{1}{2} \times OB \times r =\cfrac{1}{2} \times OA \times OB \times \sin 2\theta$

$r(OA+AB+OB)=OA \times OB \times \sin 2\theta$
$ここで$
$OA=1$
$AB=\sqrt{(1-\cos 2\theta)^2+\sin ^2 2\theta}=\sqrt{2-2\cos 2\theta}=\sqrt{2-2(1-2\sin ^2 \theta)}=\sqrt{4\sin ^2\theta}=2\sin \theta$
$OB=\sqrt{\cos ^2 2\theta + \sin ^2 2\theta}=1$
$これらを代入して$

$r(1+2\sin \theta +1)=1 \times 1 \times \sin 2\theta$

$r=\cfrac{\sin 2\theta}{2+2\sin \theta}=\cfrac{2\sin \theta \cos \theta}{2(1+\sin \theta)}=\cfrac{\sin \theta \cos \theta}{1+\sin \theta}$

　
$内接円は辺OA,すなわちx軸に接しているから、b=r=\cfrac{\sin \theta \cos \theta}{1+\sin \theta}$

$内心Pは\angle AOB の二等分線上にあるから \qquad \tan \theta =\cfrac{b}{a}$

$a=\cfrac{b}{\tan \theta}=\cfrac{\sin \theta \cos \theta}{1+\sin \theta} \times \cfrac{\cos \theta}{\sin \theta}=\cfrac{\cos ^2\theta}{1+\sin \theta}=\cfrac{1-\sin ^2\theta}{1+\sin \theta}=1-\sin \theta$

$したがって　P\Big(1-\sin \theta,\ \cfrac{\sin \theta \cos \theta}{1+\sin \theta}\Big) $


(2)


$点Pの軌跡は \quad x=1-\sin \theta,\quad y=\cfrac{\sin \theta \cos \theta}{1+\sin \theta} \quad とおくと$

$\qquad \cfrac{dx}{d\theta}=-\cos \theta <0 $

\begin{eqnarray*} \cfrac{dy}{d\theta} &=&\cfrac{(\cos ^2\theta -\sin ^2\theta)(1+\sin \theta)-\sin \theta \cos ^2\theta}{(1+\sin \theta)^2}\\ \\ &=&\cfrac{\cos ^2\theta -\sin ^2\theta-\sin ^3\theta}{(1+\sin \theta)^2}\\ \\ &=&-\cfrac{\sin ^3\theta +2\sin ^2\theta-1}{(1+\sin \theta)^2}\\ \\ &=&-\cfrac{(1+\sin \theta)(\sin ^2\theta +\sin \theta-1)}{(1+\sin \theta)^2}\\ \\ &=&-\cfrac{(1+\sin \theta)(\sin \theta -\cfrac{-1+\sqrt{5}}{2})(\sin \theta -\cfrac{-1-\sqrt{5}}{2})}{(1+\sin \theta)^2}\\ \end{eqnarray*}
$ここで$
$1+\sin \theta > 0,\qquad \sin \theta -\cfrac{-1-\sqrt{5}}{2}=\sin \theta +\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}>0$

$0 < \cfrac{-1+\sqrt{5}}{2} <1 \quad だから \quad 0 <\theta < \cfrac{\pi}{2}\ \ で \ \ \sin \alpha =\cfrac{-1+\sqrt{5}}{2}　となる\alpha が1つ存在する。$

$\quad 0 < \theta < \alpha \quad のとき \qquad \sin \theta < \sin \alpha \ \ だから \ \ \cfrac{dy}{d\theta} > 0 $

$\quad \alpha < \theta < \cfrac{\pi}{2} \quad のとき \qquad \sin \theta > \sin \alpha \ \ だから \ \ \cfrac{dy}{d\theta} < 0 $

　
$x,y\ の増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} \hline \theta & 0 & \cdots & \alpha & \cdots & \cfrac{\pi}{2}\\ \hline \cfrac{dx}{d\theta} & -1 & - & - & - & 0\\ \hline \cfrac{dy}{d\theta} & 1 & + & 0 & - & -\cfrac{1}{2}\\ \hline x & 1 & \searrow & & \searrow & 0 \\ \hline y & 0 & \nearrow & 極大 & \searrow & 0 \\ \end{array} \]
$y\ は \ \ x =\alpha \ \ で極大かつ最大となる。グラフは右のとおりです。$


$求める立体の体積 \ V\ は$
\begin{eqnarray*} V &=&\pi \int_0^1y^2dx\\ &=&\pi \int_{\small{\cfrac{\pi}{2}}}^0\big(\cfrac{\sin \theta \cos \theta}{1+\sin \theta} \big)^2(-\cos \theta)d\theta\\ &=&\pi \int_0^{\small{\cfrac{\pi}{2}}}\cfrac{\sin ^2\theta \cos ^3\theta}{(1+\sin \theta)^2 }d\theta\\ &=&\pi \int_0^{\small{\cfrac{\pi}{2}}}\cfrac{\sin ^2\theta (1-\sin ^2\theta)}{(1+\sin \theta)^2 }\cos \theta d\theta\\ &=&\pi \int_0^{\small{\cfrac{\pi}{2}}}\cfrac{\sin ^2\theta (1-\sin \theta)}{1+\sin \theta }\cos \theta d\theta\\ \end{eqnarray*}
$\qquad 1+\sin \theta =t \quad とおくと \quad \cos \theta d\theta =dt$
\[ \quad \begin{array}{c|c} \theta & \ \ 0 \rightarrow \cfrac{\pi}{2} \quad \\ \hline t & 1 \rightarrow 2 \\ \end{array} \]
\begin{eqnarray*} V &=&\pi \int_1^2\cfrac{(t-1)^2(2-t)}{t}dt\\ &=&\pi \int_1^2\cfrac{-t^3+4t^2-5t+2}{t}dt\\ &=&\pi \int_1^2(-t^2+4t-5+\cfrac{2}{t})dt\\ &=&\pi \big[-\cfrac{t^3}{3}+2t^2-5t+2\log t\big]_1^2\\ &=&(2\log 2-\cfrac{4}{3})\pi\\ \end{eqnarray*}


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