神戸大学（理系）2019年前期 問題4
$次のように \ 1,\ 3,\ 4を繰り返し並べて得られる数列を\{a_n\}とする。$
$\qquad 1,\ 3,\ 4,\ 1,\ 3,\ 4,\ 1,\ 3,\ 4, \ \cdots $
$すなわち、a_1=1,\ a_2=3,\ a_3=4\ で、4以上の自然数nに対し、a_n=a_{n-3}\ \ とする。$
$この数列の初項から第n項までの和をS_nとする。以下の問いに答えよ。$
$(1) \quad S_nを求めよ。$
$(2) \quad S_n=2019 \ となる自然数 \ n\ は存在しないことを示せ。$
$(3) \quad どのような自然数 \ k\ に対しても、S_n=k^2\ となる自然数 \ n\ が存在することを示せ。$
$(3)の内容を把握するのが結構やっかいです。自然数nの存在を示すということはどうすればいいのでしょうか。$
(1)
$\quad m=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots として$
(i)$\quad n=3m\ \ (m \ne 0)\ \ のとき S_n=8m=\cfrac{8n}{3}$
(ii)$\quad n=3m+1\ \ のとき S_n=8m+1=8 \times \cfrac{n-1}{3}+1=\cfrac{8n-5}{3}$
(iii)$\quad n=3m+2\ \ のとき S_n=8m+4=8 \times \cfrac{n-2}{3}+4=\cfrac{8n-4}{3}$
(2)
$(1)より$
\[ \hspace{1em} S_n= \left\{ \begin{array}{l} 8m \hspace{4em} (n=3m)\\ 8m+1 \hspace{2em} (n=3m+1)\\ 8m+4 \hspace{2em} (n=3m+2)\\ \end{array} \right. \] $すなわち、どのような自然数 \ n\ に対しても、S_n \ は \ 8m,\ 8m+1,\ 8m+4\ \ のいずれかの型をしている。$
$\quad 2019=8 \times 252 +3 \ \ だから上の3つのいずれの型にも入らない。$
$よって、S_n=2019 \ \ となる自然数 \ n\ は存在しない。$
(3)
$自然数 \ k\ を8で割った余りで分類し、k^2 の型を調べる。$
$l\ は自然数として$
(i)$\ \ k=8l \ \ のとき \hspace{3em} k^2=64l^2 \hspace{16em} 8m\ 型$
(ii)$\ \ k=8l \pm 1 \ \ のとき \quad k^2=64l^2 \pm 16l +1=8(8l^2 \pm 2l)+1 \hspace{4em} 8m+1\ 型$
(iii)$\ \ k=8l \pm 2 \ \ のとき \quad k^2=64l^2 \pm 32l +4=8(8l^2 \pm 4l)+4 \hspace{4em} 8m+4\ 型$
(iv)$\ \ k=8l \pm 3 \ \ のとき \quad k^2=64l^2 \pm 48l +9=8(8l^2 \pm 6l+1)+1 \hspace{3em} 8m+1\ 型$
$どのような自然数 \ k\ に対しても、S_n=k^2\ \ は \ 8m,\ 8m+1,\ 8m+4\ \ のいずれかの型となる。$
$よって、S_n=k^2\ \ となる自然数 \ n\ が存在する。$
$例えば$
$1^2=1=S_1$
$2^2=4=S_2$
$3^2=9=8 \times 1+1=S_{3 \times 1+1}=S_4$
$4^2=16=8 \times 2=S_{3 \times 2}=S_6$
$5^2=25=8 \times 3+1=S_{3 \times 3+1}=S_{10}$
$6^2=36=8 \times 4+4=S_{3 \times 4+2}=S_{14}$
$\hspace{3em}\vdots $
$(問題の吟味)$
$この設問のポイントは(3)の \ S_n=k^2 \ にあります。$
$8の剰余 \ (\mod 8)\ だけでなく、\mod 5～\mod 9\ について \ k^2\ とその値を出すのに必要な数列を求めたのが下表です。$
\[ \begin{array}{c|c c } \ k^2 \ \ &\ \mod 5\ &\ \mod 6\ &\ \mod 7\ &\ \mod 8 \ &\ \mod 9 \\ \hline \ 1\ &\ 1\ &\ 1\ &\ 1\ &\ 1\ &\ 1\\ \ 4\ &\ 4\ &\ 4\ &\ 4\ &\ 4\ &\ 4\\ \ 9\ &\ 4\ &\ 3\ &\ 2\ &\ 1\ &\ 0\\ \ 16\ &\ 1\ &\ 4\ &\ 2\ &\ 0\ &\ 7\\ \ 25\ &\ 0\ &\ 1\ &\ 4\ &\ 1\ &\ 7\\ \ \vdots\ &\ \ &\ \ &\ \ &\ \ &\ \\ \hline 数列 &(1,3,1) \ &(1,2,1,2)\ &(1,1,2,3)\ &(1,3,4)\ &(1,3,3,2)\\ \end{array} \]
$これからわかるように、\mod 8 \ での数列 \ (1,3,4)\ は実にうまくできています。$
$出題者の苦労が目に見えるようです。$
$ちなみに、\mod 7 \ で数列 \ (1,1,2,3)\ について設問と同じように考えてみましょう。$
$類似問題$
$次のように \ 1,\ 1,\ 2,\ 3\ を繰り返し並べて得られる数列を\{a_n\}とする。$
$\qquad 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 1, \ \cdots $
$この数列の初項から第 \ n\ 項までの和を \ S_n \ とする。以下の問いに答えよ。$
$(1) \quad S_n \ を求めよ。$
$(2) \quad S_n=2019 \ となる自然数 \ n \ は存在しないことを示せ。$
$(3) \quad どのような自然数 \ k\ に対しても、S_n=k^2 \ となる自然数 \ n \ が存在することを示せ。$
(1)
$\quad m=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots として$
(i)$\quad n=4m \ \ (m \ne 0)\ \ のとき S_n=7m=\cfrac{7n}{4}$
(ii)$\quad n=4m+1 \ \ のとき S_n=7m+1=7 \times \cfrac{n-1}{4}+1=\cfrac{7n-3}{4}$
(iii)$\quad n=4m+2 \ \ のとき S_n=7m+2=7 \times \cfrac{n-2}{4}+2=\cfrac{7n-6}{4}$
(iv)$\quad n=4m+3 \ \ のとき S_n=7m+4=7 \times \cfrac{n-3}{4}+4=\cfrac{7n-5}{4}$
(2)
$(1)より$
\[ \hspace{1em} S_n= \left\{ \begin{array}{l} 7m \hspace{4em}(n=4m)\\ 7m+1 \hspace{2em}(n=4m+1)\\ 7m+2 \hspace{2em}(n=4m+2)\\ 7m+4 \hspace{2em}(n=4m+3)\\ \end{array} \right. \] $すなわち、どのような自然数 \ n\ に対しても、S_n \ は \ 7m,\ 7m+1,\ 7m+2,\ 7m+4\ のいずれかの型をしている。$
$\qquad 2019=7 \times 288 +3 \ \ だからどの型にも一致しない。$
$よって、S_n=2019 \ \ となる自然数 \ n\ は存在しない。$
$なお、2020=7 \times 288+4 \ \ だから S_n=2020 \ \ となる \ n\ は存在し、n=4 \times 288+3=1155$
(3)
$自然数 \ k\ を7で割った余りで分類し、k^2の型を調べる。$
$l\ は自然数として$
(i)$\ \ k=7l \ \ のとき \hspace{3em} k^2=49l^2 \hspace{17em} 7m\ 型$
(ii)$\ \ k=7l \pm 1 \ \ のとき \quad k^2=49l^2 \pm 14l +1=7(7l^2 \pm 2l)+1 \hspace{5em} 7m+1\ 型$
(iii)$\ \ k=7l \pm 2 \ \ のとき \quad k^2=49l^2 \pm 28l +4=7(7l^2 \pm 4l)+4 \hspace{4em} 7m+4\ 型$
(iv)$\ \ k=7l \pm 3 \ \ のとき \quad k^2=49l^2 \pm 42l +9=7(7l^2 \pm 6l+1)+2 \hspace{3em} 7m+2\ 型$
$どのような自然数kに対しても、S_n=k^2 \ \ は \ 7m,\ 7m+1,\ 7m+2,\ 7m+4\ のいずれかの型となる。$
$よって、S_n=k^2\ となる自然数 \ n\ が存在する。$
$例えば$
$1^2=1=S_1$
$2^2=4=S_3$
$3^2=9=7 \times 1+2=S_{4 \times 1+2}=S_6$
$4^2=16=7 \times 2 +2=S_{4 \times 2+2}=S_{10}$
$5^2=25=7 \times 3+4=S_{4 \times 3+3}=S_{15}$
$6^2=36=7 \times 5+1=S_{4 \times 5+1}=S_{21}$
$\hspace{4em}\vdots $
$からくりがわかれば面白いですね。是非他の \mod でも確認してみてはどうでしょうか。$
メインメニュー に戻る