関西学院大学(理系) 2026年 B 問題4
$四面体 \ ABCD\ がある。その頂点を移動する点を点を \ P\ とする。点 \ P\ は初め頂点 \ A\ にある。2\ 個のサイコロ$
$を同時に投げる。そのとき、2\ 個のサイコロの出た目の和Sに応じて、点 \ P\ は次の規則にしたがう。$
$・S=2,\ 3,\ 11,\ 12\ \ のとき、点 \ P\ は移動しない。$
$・S=4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\ のとき、点 \ P\ は、隣の \ 3\ 頂点のいずれかに等しい確率 \ \dfrac{1}{3}\ で移動する。$
$サイコロを \ n\ 回投げたとき、点 \ P\ が頂点 \ A\ にいる確率を \ a_n,点 \ P\ が頂点 \ B\ にいる確率を \ b_n\ とする。$
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a_1,および \ b_1 \ を求めよ。$
$(2)\ \ a_2 \ を求めよ。$
$(3)\ \ b_n \ を \ a_n\ を用いて表せ。また、a_{n+1}\ を \ a_n \ を用いて表せ。$
(1)
$S=3\ である根元事象は \ (1,\ 2),\ \ (2,\ 1)\ \ の \ 2\ 通りだから \ \ P(S=2)=\dfrac{2}{36}$
$S=11\ である根元事象は \ (5,\ 6),\ \ (6,\ 5)\ \ の \ 2\ 通りだから \ \ P(S=11)=\dfrac{2}{36}$
$S=12\ である根元事象は \ (6,\ 6)\ \ の \ 1\ 通りだから \ \ P(S=12)=\dfrac{1}{36}$
$これら \ 4\ つの事象は互いに排反だから点 \ P\ が移動しない事象 \ R\ の確率は$
$P(R)=\dfrac{1}{36}+ \dfrac{2}{36}+ \dfrac{2}{36}+ \dfrac{1}{36}=\dfrac{1}{6}$
$したがって\ P\ が移動する事象 \ M\ の確率は \ \ P(M)=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$
$a_1 \ は1回投げて、移動しない確率だから \quad a_1=\dfrac{1}{6}$
$b_1 \ は1回投げて、A\ から \ B\ に移動する確率だから \quad b_1=\dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{18}$
(2)
$2\ 回投げて$
$A \longrightarrow A \longrightarrow A\ \ である確率は \quad \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6}$
$A \longrightarrow B \longrightarrow A\ \ である確率は \quad \dfrac{5}{18} \times \dfrac{5}{18}$
$対称性から \quad A \longrightarrow C \longrightarrow A、\quad A \longrightarrow D \longrightarrow A \ \ も同じ$
$a_2=\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6}+ \dfrac{5}{18} \times \dfrac{5}{18} \times 3=\dfrac{3+25}{18 \times 6}=\dfrac{7}{27}$
(3)
$サイコロを \ n\ 回投げたとき、点 \ P\ が頂点 \ C,\ D\ にいる確率をそれぞれ \ c_n,\ d_n\ とすると$
$上の樹形図からわかるように$
$a_{n+1}=\dfrac{1}{6}a_n + \dfrac{5}{18}b_n + \dfrac{5}{18}c_n+ \dfrac{5}{18}d_n \hspace{5em}①$
$b_{n+1}=\dfrac{5}{18}a_n + \dfrac{1}{6}b_n + \dfrac{5}{18}c_n+ \dfrac{5}{18}d_n \hspace{5em}②$
$同様にして$
$c_{n+1}=\dfrac{5}{18}a_n + \dfrac{5}{18}b_n + \dfrac{1}{6}c_n+ \dfrac{5}{18}d_n \hspace{5em}③$
$d_{n+1}=\dfrac{5}{18}a_n + \dfrac{5}{18}b_n + \dfrac{5}{18}c_n+ \dfrac{1}{6}d_n \hspace{5em}④$
$①-②$
$a_{n+1}-b_{n+1}=-\dfrac{2}{18}a_n+\dfrac{2}{18}b_n=-\dfrac{1}{9}(a_n-b_n)$
$数列 \ \{a_n-b_n\}\ は公比 \ -\dfrac{1}{9}\ \ の等比数列だから$
\begin{eqnarray*} & &a_n-b_n\\ \\ &=&(a_1-b_1)\big(-\dfrac{1}{9}\big)^{n-1}\\ \\ &=&(\dfrac{1}{6} - \dfrac{5}{18})\big(-\dfrac{1}{9}\big)^{n-1}\\ \\ &=&-\dfrac{1}{9}\big(-\dfrac{1}{9}\big)^{n-1}\\ \\ &=&\big(-\dfrac{1}{9}\big)^n\\ \end{eqnarray*} $\therefore b_n=a_n - \big(-\dfrac{1}{9}\big)^n$
$同様にして$
$②-③$
$b_{n+1}-c_{n+1}=-\dfrac{2}{18}b_n+\dfrac{2}{18}c_n=-\dfrac{1}{9}(b_n-c_n)$
$c_1\ は \ 1\ 回投げて、A\ から \ C\ に移動する確率だから \quad c_1=\dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{18}$
$b_n-c_n=(b_1-c_1)\big(-\dfrac{1}{9}\big)^{n-1}=(\dfrac{5}{18} - \dfrac{5}{18})\big(-\dfrac{1}{9}\big)^{n-1}=0$
$③-④$
$c_{n+1}-d_{n+1}=-\dfrac{2}{18}c_n+\dfrac{2}{18}d_n=-\dfrac{1}{9}(c_n-d_n)$
$d_1\ は \ 1\ 回投げて、A\ から \ D\ に移動する確率だから \quad d_1=\dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{18}$
$c_n-d_n=(c_1-d_1)\big(-\dfrac{1}{9}\big)^{n-1}=(\dfrac{5}{18} - \dfrac{5}{18})\big(-\dfrac{1}{9}\big)^{n-1}=0$
$よって \quad b_n=c_n=d_n$
$これらを①に代入して$
$a_{n+1}=\dfrac{1}{6}a_n + 3 \times \dfrac{5}{18}b_n=\dfrac{1}{6}a_n + \dfrac{5}{6}\big\{a_n - \big(-\dfrac{1}{9}\big)^n\big\}=a_n - \dfrac{5}{6}\big(-\dfrac{1}{9}\big)^n$
(4)
$a_{n+1}=a_n - \dfrac{5}{6}\big(-\dfrac{1}{9}\big)^n \quad より$
$a_n-a_{n-1} =- \dfrac{5}{6}\big(-\dfrac{1}{9}\big)^{n-1}$
$a_{n-1}-a_{n-2} =- \dfrac{5}{6}\big(-\dfrac{1}{9}\big)^{n-2}$
$\hspace{5em} \vdots $
$a_2-a_1 =- \dfrac{5}{6}\big(-\dfrac{1}{9}\big)$
$辺々加えて$
\begin{eqnarray*} a_n-a_1 &=&- \dfrac{5}{6}\big\{\big(-\dfrac{1}{9}+\big(-\dfrac{1}{9}\big)^2+\cdots +\big(-\dfrac{1}{9}\big)^{n-1}\big\}\\ \\ &=&- \dfrac{5}{6} \times \dfrac{-\dfrac{1}{9}\big\{1-\big(-\dfrac{1}{9}\big)^{n-1}\big\}}{1+\dfrac{1}{9}}\\ \\ &=&- \dfrac{5}{6} \times \dfrac{-\big\{1-\big(-\dfrac{1}{9}\big)^{n-1}\big\}}{10}\\ \\ &=&\dfrac{1}{12} \big\{1-\big(-\dfrac{1}{9}\big)^{n-1}\big\}\\ \end{eqnarray*}
$\therefore a_n=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12} \big\{1-\big(-\dfrac{1}{9}\big)^{n-1}\big\}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{12} \big(-\dfrac{1}{9}\big)^{n-1}$
\[\lim_{n \rightarrow \infty} a_n =\dfrac{1}{4}\]
$(補充)$
$(3)より \quad b_n=a_n - \big(-\dfrac{1}{9}\big)^n ,\qquad b_n=c_n=d_n \quad だから$
\[\lim_{n \rightarrow \infty} b_n =\lim_{n \rightarrow \infty} c_n =\lim_{n \rightarrow \infty} d_n =\lim_{n \rightarrow \infty}a_n=\dfrac{1}{4}\]
$なお、類題が($2024東京大学(理系)問題3$)が出題されています。$
メインメニュー に戻る