関西学院大学(理系) 2026年 B 問題3
$次の文章中の \ \fbox{$ $}\ に適する式または数値を求めよ。$
$k\ は定数とする。座標平面上で、方程式 \ \ kx+y-(4k+3)=0 \ \ で表される直線を \ \ell \ とし、方程式$
$x^2+y^2-2y-3=0 \ \ で表される円を \ C\ とする。また、円 \ C\ の中心を \ A\ とする。$
$(1)\ \ 定数 \ k\ の値に関係なく直線 \ \ell \ が通る定点 \ B\ の座標は \ \fbox{$\quad ア \quad $} \ である。$
$(2)\ \ 直線 \ \ell \ が点 \ A\ を通るとき、定数 \ k\ の値は \ k=\fbox{$\quad イ \quad $} \ である。k=-1 \ のとき、直線 \ \ell \ と円 \ C\ の \ 2\ つの$
$\quad 交点を結ぶ線分の長さは \ \fbox{$\quad ウ \quad $} \ である。また、直線 \ \ell \ と円 \ C\ が異なる \ 2\ 点で交わるとき、定数 \ k\ の値$
$\quad の範囲は \ \fbox{$\quad エ \quad $}\ < k < \ \fbox{$\quad オ \quad $}\ である。$
$(3)\ \ k= \fbox{$\quad エ \quad $}\ のとき、直線 \ \ell \ と円 \ C\ の共有点を \ Q\ とすると、点 \ Q\ の座標は\ \fbox{$\quad カ \quad $}\ である。$
$(4)\ \ 平面上の点(x,\ y)\ が三角形 \ APQ \ およびその内部を動くとき、t=5y-x^2 \ の最小値は \ \fbox{$\quad キ \quad $}\ であり、$
$\quad 最大値は \ \fbox{$\quad ク \quad $}\ である。$
(1)
$\ell : \ kx+y-(4k+3)=0 \ \ より \quad y=-k(x-4)+3$
$これは、点(4,\ 3)\ を通り、傾き \ -k \ の直線を表すから$
$k\ の値に関係なく定点 \ P(4,\ 3) \ を通る。$
(2)
$C:x^2+y^2-2y-3=0 \ \ より \quad x^2+(y-1)^2=4$
$円Cの中心は \ \ A(0,\ 1)$
$直線 \ \ell \ が点 \ A\ を通るとき$
$1-(4k+3)=0 \qquad \therefore \ \ k=-\dfrac{1}{2}$
$k=-1 \ のとき \ \ \ell : y=(x-4)+3 \qquad y=x-1$
$\ell \ と円C : x^2+(y-1)^2=4 \ \ との交点は$
$x^2+(x-2)^2=4$
$2x^2-4x=0$
$x(x-2)=0 \quad \therefore \ \ x=0,\ \ 2$
$x=0 \ \ のとき \ \ y=-1,\qquad x=2 \ \ のとき \ \ y=1$
$交点は \quad B(0,\ -1),\quad C(2,\ 1)$
$BC^2=(2-0)^2+(1+1)^2=8 \qquad \therefore \ \ BC=2\sqrt{2}$
$k=-1 \ \ のとき \ \ \ell : y=x-1 \quad だから$
$円C\ 上の点B(0,\ -1)\ \ と \ \ C(2,\ 1)\ \ を通る。$
$したがって、\triangle ABC \ は \ \ AB=AC=2\ の直角に等辺三角形だから$
$BC=\sqrt{2}AB=2\sqrt{2}$
$直線 \ \ell \ と円 \ C\ の交点は、$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} x^2+(y-1)^2=4 \hspace{5em}①\\ y=-kx+4k+3 \hspace{5em}②\\ \end{array} \right. \]
$②を①に代入して \quad x^2+(-kx+4k+2)^2=4$
$(k^2+1)x^2-4k(2k+1)x+16k^2+16k=0 \hspace{5em} ③$
$直線 \ \ell \ と円 \ C\ が異なる \ 2\ 点で交わるならば$
$\dfrac{D}{4}=4k^2(2k+1)^2-(k^2+1)(16k^2+16k) > 0$
$4k\big\{k(2k+1)^2-4(k^2+1)(k+1)\big\} > 0$
$k(-3k-4) > 0 \qquad \therefore \ \ -\dfrac{4}{3} < k < 0$
(3)
$k=-\dfrac{4}{3} \ \ のとき 、直線 \ \ell \ と円 \ C\ の共有点 \ Qは③式の重解だから$
$x=\dfrac{2k(2k+1)}{k^2+1}=\dfrac{-\dfrac{8}{3}(-\dfrac{8}{3}+1)}{(-\dfrac{4}{3})^2+1}=\dfrac{-\dfrac{8}{3} \times (-\dfrac{5}{3})}{\dfrac{16}{9}+1}=\dfrac{8}{5}$
$このとき$
$y=\dfrac{4}{3} \times \dfrac{8}{5} + 4(-\dfrac{4}{3})+3=-\dfrac{1}{5}$
$よって \quad Q(\dfrac{8}{5},\ -\dfrac{1}{5})$
$右図のように、点P(4,\ 3)\ から円 \ C\ に引いた接線の接点を \ Q,\ R\ とすると$
$円の接線の性質から \quad \angle PQA=\angle PRA=90 °$
$直角三角形 PAQ \ と 直角三角形 PAR \ において$
$AQ=AR(円の半径), \ AP\ は共通だから \quad \triangle PAQ \equiv \triangle PAR $
$AQ\ と \ QR\ の交点を \ M\ とおくと$
$\triangle AQM \ と \ \triangle ARM \ \ において$
$AQ=AR,\quad \angle PAQ=\angle PAR,\quad AM \ は共通 \quad よって \quad \triangle AQM \equiv \triangle ARM $
$したがって \quad QM=RM 、\quad QR \perp AP$
$明らかに \ \ R(0,\ 3),\quad そこで \ \ Q(q,\ r)\ \ とおくと$
$直線\ AP : y=\dfrac{1}{2}x+1 $
$QR \ の中点 \ M(\dfrac{q}{2},\ \dfrac{r+3}{2})\ は直線 \ AP\ 上にあるから$
$\dfrac{r+3}{2}=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{q}{2}+1 \hspace{5em}①$
$QR\ の傾き=\dfrac{r-3}{q} ,\quad APの傾き=\dfrac{1}{2}\quad だから$
$\dfrac{r-3}{q}=-2 \hspace{5em}②$
$①、②を解いて \quad q=\dfrac{8}{5},\quad r=-\dfrac{1}{5}$
(4)
$t=5y-x^2 \ \ すなわち \ \ 2\ 次関数 \ \ y=\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{t}{5}\ \ の$
$y\ 軸との交点の \ y\ 座標のとる値の範囲を調べればよい。$
$t \ の最小値は$
$\quad 点Q(\dfrac{8}{5},\ -\dfrac{1}{5})\ \ を通るときで \quad t=5 \times \big(-\dfrac{1}{5}\big) -\big(\dfrac{8}{5}\big)^2=-\dfrac{89}{25}$
$t \ の最大値は$
$直線 \ AP\ に接するときで$
$\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{t}{5}=\dfrac{1}{2}x+1$
$2x^2-5x+2t-10=0$
$D=25-8(2t-10)=0$
$t=\dfrac{105}{16}$
$このとき重解は \ \ x=\dfrac{5}{4}、\quad y=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{5}{4}+1=\dfrac{13}{8}$
$接点 \ S(\dfrac{5}{4}、\ \dfrac{13}{8}) \ \ は確かに線分 \ AP\ 上にある。$
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