関西学院大学(理系) 2026年　B 問題2


$次の文章中の \ \fbox{$　 　$}\ に適する式または数値を求めよ。$
$2\ つの関数 \ f(x),\ g(x)\ を \ \ f(x)=x\sin x ,\ \ g(x)=x|\cos x|\ \ とし、2\ つの曲線 \ C_1,\ \ C_2\ を \ C_1:y=f(x),$
$C_2:y=g(x)\ \ とする。$
$(1)\ \ f(\dfrac{\pi}{2})=\dfrac{\pi}{2},\ \ f'(\dfrac{\pi}{2})=\fbox{$\quad ア \quad $} \ である。点(\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{\pi}{2})\ における曲線 \ C_1\ の接線 \ \ell \ の方程式は \ \ y=\fbox{$\quad イ \quad $} \ \ である。$
\[(2)\ \ \int x\sin xdx =\fbox{$\quad ウ \quad $}+C \ \ (C\ は積分定数)\ である。0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\ \ において、曲線C_1 と直線 \ell で囲まれた\] $\quad 部分の面積は \ \fbox{$\quad エ \quad $}\ である。$
$(3)\ \ 0 \leqq x \leqq \pi \ \ において曲線 \ C_1\ と \ C_2\ の共有点は \ 3\ つあり、それらの \ x\ 座標は \ \ x=0,\ \ \fbox{$\quad オ \quad $}、\ \ \fbox{$\quad カ \quad $}$
$\quad である。ただし、\fbox{$\quad オ \quad $} < \fbox{$\quad カ \quad $}$
\[(4)\ \ \int x^2\cos 2xdx =\fbox{$\quad キ \quad $}+C' \ \ (C'\ は積分定数)\ である。\fbox{$\quad オ \quad $} \leqq x \leqq \fbox{$\quad カ \quad $}\ において、曲線 \ C_1\ と\] $\quad 曲線 \ C_2\ で囲まれた部分を \ x\ 軸の周りに \ 1\ 回転させてできる立体の体積は \ \fbox{$\quad ク \quad $}\ である。$


(1)


$f'(x)=\sin x +x\cos x \ \ より \quad f'(\dfrac{\pi}{2})=\sin \dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\cos \dfrac{\pi}{2}=1$

$点(\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{\pi}{2})\ における曲線 \ C_1\ の接線 \ \ell \ の方程式は$

$y= f'(\dfrac{\pi}{2})(x- \dfrac{\pi}{2})+ f(\dfrac{\pi}{2}) \ \ だから$

$y=(x- \dfrac{\pi}{2})+ \dfrac{\pi}{2}$

$\therefore \ \ \ell : y=x$


(2)


　

\[\int x\sin xdx=-x\cos x + \int \cos xdx=-x\cos x + \sin x+C\]
$曲線 \ C_1\ と直線 \ \ell \ の交点は。0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\ \ において$

$x\sin x=x \ \ より \quad x(\sin x -1)=0 \qquad x=0,\quad \dfrac{\pi}{2}$

$0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\ \ で \quad 0 \leqq x\sin x \leqq x \quad だから$

$C_1\ と \ \ell \ で囲まれた部分の面積 \ S\ は$

\begin{eqnarray*} S &=&\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}(x-x\sin x)dx\\ \\ &=&\big[\dfrac{x^2}{2}+x\cos x - \sin x)\big]_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}\\ \\ &=&\dfrac{\pi^2}{8}-1 \end{eqnarray*}

(3)


$曲線 \ C_1\ と \ C_2\ の共有点の \ x\ 座標は$

$x\sin x=x|\cos x|\ \ の解だから \quad x(\sin x -|\cos x|)=0 $

$x=0,\quad \sin x =|\cos x|$

(i)$\ \ 0 \leqq x < \dfrac{\pi}{2} \ \ のとき \ \ \cos x > 0 \ \ だから$

$\sin x=\cos x \qquad \tan x=1 \qquad x=\dfrac{\pi}{4}$

(ii)$\ \ \dfrac{\pi}{2} < x \leqq \pi \ \ のとき \ \ \cos x < 0 \ \ だから$

$\sin x=-\cos x \qquad \tan x=-1 \qquad x=\dfrac{3}{4}\pi$

(iii)$\ \ x=\dfrac{\pi}{2} \ \ のとき$

$\sin \dfrac{\pi}{2}=1,\quad |\cos \dfrac{\pi}{2}|=0 \ \ だから \ \ x=\dfrac{\pi}{2}\ \ は解ではない。$

$0 \leqq x \leqq \pi \ \ において曲線 \ C_1\ と \ C_2\ の共有点は \quad x=0,\ \ \dfrac{\pi}{4},\ \ \dfrac{3}{4}\pi$


(4)


\begin{eqnarray*} &&\int x^2\cos 2x dx\\ \\ &=&\dfrac{x^2}{2}\sin 2x - \int x\sin 2xdx\\ \\ &=&\dfrac{x^2}{2}\sin 2x - \big(-\dfrac{x}{2}\cos 2x +\int \dfrac{1}{2}\cos 2xdx\big)\\ \\ &=&\dfrac{x^2}{2}\sin 2x +\dfrac{x}{2}\cos 2x -\dfrac{1}{4}\sin 2x +C'\\ \end{eqnarray*}

　

$2\ つの関数 \ \ y=f(x) \ と \ y=g(x)\ の大小関係を調べると$

(i)$\ \ 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{4} \ \ のとき \quad |\cos x |=\cos x $

$\quad \sin x \leqq \cos x \ \ だから \quad x\sin x \leqq x|\cos x|$

(ii)$\ \ \dfrac{\pi}{4} \leqq x \leqq \dfrac{3}{4}\pi \ \ のとき $

$\quad |\cos x| \leqq \sin x \ \ だから \quad x|\cos x| \leqq x\sin x$

(iii)$\ \ \dfrac{3}{4}\pi \leqq x \leqq \pi \ \ のとき $

$\quad \sin x \leqq |\cos x| \ \ だから \quad x\sin x \leqq x|\cos x|$

$曲線 \ C_1\ と 曲線 \ C_2\ で囲まれた部分は右図のとおりだから、この部分を \ x\ 軸の周りに$

$1\ 回転させてできる立体の体積 \ V\ は$

\begin{eqnarray*} V &=&\pi\int_{\scriptsize{\dfrac{\pi}{4}}}^{\scriptsize{\dfrac{3}{4}\pi}}\big((x\sin x)^2-(x|\cos x|)^2 \big)dx\\ \\ &=&\pi\int_{\scriptsize{\dfrac{\pi}{4}}}^{\scriptsize{\dfrac{3}{4}\pi}}x^2(\sin ^2x -\cos ^2 x)dx\\ \\ &=&-\pi\int_{\scriptsize{\dfrac{\pi}{4}}}^{\scriptsize{\dfrac{3}{4}\pi}}x^2\cos 2xdx\\ \\ &=&-\pi\big[\dfrac{x^2}{2}\sin 2x +\dfrac{x}{2}\cos 2x -\dfrac{1}{4}\sin 2x\big]_{\scriptsize{\dfrac{\pi}{4}}}^{\scriptsize{\dfrac{3}{4}\pi}} \\ \\ &=&-\pi\big\{\dfrac{1}{2}(\dfrac{3}{4}\pi)^2 \sin \dfrac{3}{2}\pi + \dfrac{1}{2}(\dfrac{3}{4}\pi) \cos \dfrac{3}{2}\pi-\dfrac{1}{4}\sin \dfrac{3}{2}\pi -\big(\dfrac{1}{2}(\dfrac{\pi}{4})^2 \sin \dfrac{\pi}{2} +\dfrac{1}{2}(\dfrac{\pi}{4}) \cos \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{4}\sin \dfrac{\pi}{2}\big)\big\}\\ \\ &=&-\pi\big(-\dfrac{9}{32}\pi ^2+\dfrac{1}{4}-(\dfrac{\pi^2}{32} -\dfrac{1}{4})\big)\\ \\ &=&\dfrac{5}{16}\pi^3-\dfrac{1}{2}\pi \end{eqnarray*}

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