関西学院大学(理系) 2026年 A 問題4
$関数 \ f(x)=2(\log_4 x)^2 \big(\log_2 \dfrac{x^4}{64}\big)+3\log_2\dfrac{1}{x^4}\ \ について次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ f(4)\ の値を求めよ。$
$(2)\ \ t=\log_2 x \ \ とおくとき、f(x)\ を \ t\ の式で表せ。また、\sqrt{2} \leqq x \leqq 2\sqrt{2} \ \ において \ t\ がとりうる値の範囲と$
$\quad f(x)\ の最大値を求めよ。$
$(3)\ \ 方程式 \ \ f(x)=a \ \ が実数全体の範囲でちょうど \ 2\ つの解をもつような \ a\ の値を求めよ。また、そのよう$
$\quad な \ a\ のうち最大のものについて \ \ f(x)=a\ \ の解を求めよ。$
(1)
\begin{eqnarray*} f(4) &=&2(\log_4 4)^2 \big(\log_2 \dfrac{4^4}{64}\big)+3\log_2\dfrac{1}{4^4}\\ \\ &=&2 \times 1^2 \times \log_2 4 +3 \times (- 4\log_2 4)\\ \\ &=&2 \log_2 2^2 - 12 \log_2 2^2\\ \\ &=&4-24\\ \\ &=&-20 \end{eqnarray*}
(2)
\begin{eqnarray*} f(x) &=&2(\log_4 x)^2 \big(\log_2 \dfrac{x^4}{64}\big)+3\log_2\dfrac{1}{x^4}\\ \\ &=&2\big(\dfrac{\log_2 x}{\log_2 4} \big)^2 \big(\log_2 \dfrac{x^4}{2^6}\big)-3\log_2 x^4\\ \\ &=&2\big(\dfrac{\log_2 x}{2} \big)^2 (\log_2 x^4 -\log_2 2^6)-12\log_2 x\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}(\log_2 x)^2 (4\log_2 x -6)-12\log_2 x\\ \\ &=&2(\log_2 x)^3 -3(\log_2 x)^2-12\log_2 x\\ \\ &=&2t^3-3t^2-12t \end{eqnarray*}
$また$
$x=\sqrt{2} \ \ のとき \quad t=\log_2 \sqrt{2}=\log_2 2^{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}=\dfrac{1}{2}$
$x=2\sqrt{2} \ \ のとき \quad t=\log_2 2\sqrt{2}=\log_2 2^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}}=\dfrac{3}{2}$
$t=\log_2 x \ \ は単調増加だから \quad \sqrt{2} \leqq x \leqq 2\sqrt{2} \ \ のとき \quad \dfrac{1}{2} \leqq t \leqq \dfrac{3}{2}$
$g(t)=2t^3-3t^2-12t \quad とおくと$
$g'(t)=6t^2-6t-12=6(t+1)(t-2)$
$ \dfrac{1}{2} \leqq t \leqq \dfrac{3}{2} \ \ で、 g'(t) < 0 \ \ だから \ g(t)\ はこの区間で単調減少$
$よって \quad g(t)\ は \ \ t=\dfrac{1}{2}\ \ のとき最大となる。$
$このとき、f(x)\ は \ \ \log_2 x=\dfrac{1}{2} \ \ より \quad x=2^{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}=\sqrt{2} $
$最大値は \quad g(\dfrac{1}{2})=2(\dfrac{1}{2})^3-3(\dfrac{1}{2})^2-12(\dfrac{1}{2})=2 \times \dfrac{1}{8}-3 \times \dfrac{1}{4}-12 \times \dfrac{1}{2}=-\dfrac{13}{2}$
$(別解)$
$f(x)\ は \log_2 x=\dfrac{1}{2} \ \ すなわち \quad x=2^{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}=\sqrt{2} \ \ で最大となるから、最大値は$
$f(\sqrt{2})=2(\dfrac{1}{2})^3-3(\dfrac{1}{2})^2-12 \times \dfrac{1}{2}=-\dfrac{13}{2}$
(3)
$t=\log_2 x \ \ は単調増加だから \ \ f(x)=a \ \ の解の個数と \ \ g(t)=a\ \ の解の個数は一致する。そこで、$
$y=g(t)\ と \ y=a \ のグラフの交点の個数を調べる。$
$g'(t)=6(t+1)(t-2)$
$g'(t)=0 \ \ より \ \ t=-1,\ \ 2$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t& \cdots & -1 & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline g'(t) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline g(t)& \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array} \]
$t=-1 \ \ で極大となり、極大値 \quad g(-1)=-2-3+12=7$
$t=2 \ \ で極小となり、極小値 \quad g(2)=16-12-24=-20$
$y=g(t)) \ のグラフは右図のとおり$
$g(t)=a \ \ の実数解は \ 2\ つのグラフの交点の \ x\ 座標だから、$
$ちょうど \ 2\ つの解をもつのは$
$a=7\ と \ a=-20 \ のときである。 a\ のうち最大のものは \ \ a=7\ \ である。$
$a=7\ のときの解は \ \ 2t^3-3t^2-12t-7=0\ \ の実数解である。解と係数の関係より$
$t=-1 \ \ は重解であるから、他の解 \ \alpha \ \ は \quad (-1)+(-1)+\alpha =\dfrac{3}{2} \ \ より \ \ \alpha=\dfrac{7}{2}$
$このとき \quad f(x)=7\ \ の解は$
$\log_2 x=-1 \ \ より \quad x=2^{-1}=\dfrac{1}{2}\ \ (重解)$
$\log_2 x=\dfrac{7}{2} \ \ より \quad x=2^{\scriptsize{\dfrac{7}{2}}}=8\sqrt{2}$
$(参考)$
$a=-20\ \ のときの解は \quad 2t^3-3t^2-12t+20=0 \ \ の実数解である。$
$解と係数の関係より$
$t=2 \ は重解であるから、他の解 \ \beta \ は \quad 2+2+\beta =\dfrac{3}{2}\ \ より \quad \beta=-\dfrac{5}{2}$
$このとき \quad f(x)=-20 \ \ の解は$
$\log_2 x=2 \ \ より \quad x=2^2=4\ \ (重解)$
$\log_2 x-=\dfrac{5}{2} \ \ より \quad x=2^{\scriptsize{-\dfrac{5}{2}}}=\dfrac{1}{4\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{8}$
$また、y=f(x) のグラフを直接描く方法もあります。$
$f(x)=2(\log_2 x)^3 -3(\log_2 x)^2-12\log_2 x \quad より$
\begin{eqnarray*} f'(x) &=&\dfrac{6(\log_2 x)^2}{x\log 2}-\dfrac{6\log_2 x}{x\log 2}-\dfrac{12}{x\log 2}\\ \\ &=&\dfrac{6}{x\log 2}\big\{(\log_2 x)^2-\log_2 x -2\big\}\\ \\ &=&\dfrac{6}{x\log 2}(\log_2 x +1)(\log_2 x -2)\\ \end{eqnarray*}
$f'(x)=0 より x > 0 \ \ だから$
$\log_2 x=-1 \ \ のとき \quad x=2^{-1}=\dfrac{1}{2}$
$\log_2 x=2 \ \ のとき \quad x=2^2=4$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& 0 & \cdots & \dfrac{1}{2} & \cdots & 4 & \cdots \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x)& & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array} \]
$x=\dfrac{1}{2} \ \ で極大となり、極大値 \quad f(\dfrac{1}{2})=2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)=7$
$x=4\ \ で極小なり、極小値 \quad f(4)=2 \times 2^3-3 \times 2^2 -12 \times 2=-20$
$右図は \ y=f(x)\ のグラフです。$
$確かに、a=7\ と \ a=-20\ でf(x)=a \ \ はちょうど \ 2\ つの解をもつことがわかります。$
$なお、(3)の設問文で、「実数全体の範囲で」とありますが、明らかに「x > 0\ の範囲で」とすべきでしょう。$
メインメニュー に戻る