関西学院大学(理系) 2026年 A 問題2
$次の文章中の \ \fbox{$ $}\ に適する式または数値を求めよ。$
$関数 \ f(x)=x\sqrt{5-x^2}\ \ (0 \leqq x \leqq \sqrt{5})\ \ に対して、曲線 \ y=f(x)\ 上の点(2,\ f(2))\ における接線を \ \ell \ とし、$
$曲線 \ y=f(x)\ と直線 \ \ell,および \ y\ 軸で囲まれた部分を \ D\ とする。$
$(1)\ \ 0 < x < \sqrt{5}\ \ において \ f(x)\ の導関数、f'(x) \ は \ f'(x)=\dfrac{\fbox{$\quad ア \quad $}}{\sqrt{5-x^2}} \ であり、第 \ 2\ 次導関数、f''(x)\ は$
$\quad f''(x)=\dfrac{\fbox{$\quad イ \quad $}}{(5-x^2)^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}}} \ \ である。$
$(2)\ \ 関数 \ f(x) \ は \ x=\fbox{$\quad ウ \quad $} \ で最大値 \ \fbox{$\quad エ \quad $}\ をとる。また、直線 \ \ell \ の方程式は \ y=\fbox{$\quad オ \quad $}\ である。$
\[(3)\ \ \int f(x)dx =\fbox{$\quad カ \quad $}+C \ \ (C\ は積分定数)\ である。\]
$(4)\ \ D\ の面積は \ \fbox{$\quad キ \quad $}\ である。また、D\ を \ x\ 軸の周りに \ 1\ 回転させてできる立体の体積は \ \fbox{$\quad ク \quad $}\ である。$
(1)
\begin{eqnarray*} f'(x) &=&\sqrt{5-x^2} + x \times \dfrac{-2x}{2\sqrt{5-x^2}}\\ \\ &=&\sqrt{5-x^2} - \dfrac{x^2}{\sqrt{5-x^2}}\\ \\ &=&\dfrac{(5-x^2)-x^2}{\sqrt{5-x^2}}\\ \\ &=&\dfrac{5-2x^2}{\sqrt{5-x^2}}\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} f''(x) &=&\dfrac{-4x\sqrt{5-x^2}-(5-2x^2) \times \dfrac{-2x}{2\sqrt{5-x^2}}}{5-x^2}\\ \\ &=&\dfrac{-4x(5-x^2) + x(5-2x^2)}{(5-x^2)^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}}}\\ \\ &=&\dfrac{-15x+2x^3}{(5-x^2)^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}}}\\ \\ &=&\dfrac{x(2x^2-15)}{(5-x^2)^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}}}\\ \end{eqnarray*}
(2)
(i)$ \ \ f'(x)=0 \ \ より \quad x^2=\dfrac{5}{2} \qquad 0 \leqq x \leqq \sqrt{5} \ \ だから$
$x=\sqrt{\dfrac{5}{2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& 0 & \cdots & \dfrac{\sqrt{10}}{2} & \cdots & \sqrt{5}\\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x)& & \nearrow & 極大 & \searrow & \\ \end{array} \]
$f(x)\ は \ \ x=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\ \ で極大かつ最大となり、最大値は$
$f(\dfrac{\sqrt{10}}{2})=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\sqrt{(5-\dfrac{5}{2}})=\dfrac{\sqrt{10}}{2} \times \dfrac{\sqrt{10}}{2}=\dfrac{5}{2}$
$y=f(x) \ のグラフは右図のとおり$
(ii)$\ \ f(2)=2\sqrt{5-2^2}=2 , \qquad f'(2)=\dfrac{5-2 \times 2^2}{\sqrt{5-2^2}}=-3$
$\ell : y=-3(x-2)+2 \qquad \therefore \ \ y=-3x+8$
(3)
\[\int f(x)dx=\int x\sqrt{5-x^2} dx \ \ において \quad 5-x^2=t \ \ とおくと \quad -2xdx=dt\]
\begin{eqnarray*} f(x) &=&\int \sqrt{t} \big(-\dfrac{dt}{2}\big)\\ \\ &=&-\dfrac{1}{2}\int t^{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}dt\\ \\ &=&-\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3}t^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}} +c\\ \\ &=&-\dfrac{1}{3}(5-x^2)^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}} +c\\ \end{eqnarray*}
(3)
\begin{eqnarray*} S &=&\int_0^2(-3x+8)-x\sqrt{5-x^2})dx\\ \\ &=&\big[-\dfrac{3}{2}x^2+8x+\dfrac{1}{3}(5-x^2)^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}}\big]_0^2\\ \\ &=&-\dfrac{3}{2} \times 4 + 8\times 2 + \dfrac{1}{3} \times 1 - \dfrac{1}{3} \times 5^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}}\\ \\ &=&\dfrac{31-5\sqrt{5}}{3} \end{eqnarray*}
(ii)$ \ \ D\ を \ x\ 軸の周りに \ 1\ 回転させてできる立体の体積 \ V\ は$
\begin{eqnarray*} V &=&\pi\int_0^2(-3x+8)^2dx-\pi\int_0^2x^2(5-x^2)dx\\ \\ &=&\pi\int_0^2\big((-3x+8)^2 -5x^2+x^4\big)dx\\ \\ &=&\pi\big[-\dfrac{(-3x+8)^3}{9}-\dfrac{5}{3}x^3+\dfrac{x^5}{5}\big]_0^2\\ \\ &=&\pi\big(-\dfrac{8}{9}-\dfrac{40}{3}+\dfrac{32}{5}+\dfrac{8^3}{9}\big)\\ \\ &=&\dfrac{736}{15}\pi \end{eqnarray*}
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