金沢大学(理系) 2026年 問題3
$整数 \ a\ と自然数 \ n\ に対し、p_n=n^n+(-1)^n(an^2-n)+(n-1)^2 \ \ とし、p_n\ を \ 3\ で割った余りを\ r_n $
$(0 \leqq r_n < 3) \ \ とする。このとき、どのような \ n\ に対しても \ r_n\ が一定の値となるような \ a\ をすべて求めよ。$
$どのような \ n\ に対しても \ r_n\ が一定の値となるなら \ \ p_1,\ p_2\ \ についても \ 3\ で割った余りは等しい。$
$p_1=1+(-1)(a-1)=2-a$
$p_2=4+(-1)^2(4a-2)+1=4a+3$
$(4a+3)-(2-a)=3k \ \ となる整数 \ k\ が存在する。$
$5a+1=3k$
$5a-3k=-1$
$5 \times 1 -3 \times 2=-1 \ \ だから$
$辺々引いて$
$5(a-1)-3(k-2)=0$
$5(a-1)=3(k-2)$
$3\ と \ 5\ は互いに素だから \quad a-1=3\ell \ \ (\ell\ は整数)\ \ とおける$
$a=3\ell +1$
$このとき \quad p_1=2-(3\ell +1)=-3\ell +1 $
$よって \quad p_1,\ p_2\ を \ 3\ で割った余りは \ 1\ である。$
$これは必要条件であるので、十分条件でもあることを示さなければならない。$
$a=3\ell +1 \ \ のとき、任意の自然数 \ n\ について$
$p_n=n^n+(-1)^n(an^2-n)+(n-1)^2 \ \ を \ 3\ で割った余りが \ 1\ であることを示す。 $
$p_n=n^n+(-1)^n((3\ell +1)n^2-n)+(n-1)^2=n^n+3\ell (-1)^n n^2+(-1)^n (n^2-n)+(n-1)^2 \ \ だから$
$q_n=n^n+ (-1)^n (n^2-n)+(n-1)^2 \ \ を \ 3\ で割った余りが \ 1\ であればよい$
$m\ を自然数として$
(i)$\ \ n=3m \ \ のとき$
\begin{eqnarray*} \quad q_{3m} &=&(3m)^n+(-1)^{3m}(9m^2-3m)+(3m-1)^2\\ \\ &=&3\big(3^{n-1}m^n+(-1)^{3m}(3m^2-m) +3m^2-2m\big)+1\\ \end{eqnarray*}
(ii)$\ \ n=3m+1 \ \ のとき$
\begin{eqnarray*} \quad q_{3m+1} &=&(3m+1)^n+(-1)^{3m+1}((3m+1)^2-(3m+1))+(3m)^2\\ \\ &=&\big((3m)^n+{}_nC_1(3m)^{n-1}+ \cdots + {}_nC_{n-1}(3m)+1\big) +(-1)^{3m+1}(9m^2+3m)+9m^2\\ \\ &=&3\big((3^{n-1}m^n+{}_nC_1 3^{n-2}m^{n-1}+ \cdots + {}_nC_{n-1}m\big) +(-1)^{3m+1}(3m^2+m)+3m^2\big)+1\\ \end{eqnarray*}
(iii)$\ \ n=3m+2 \ \ のとき$
\begin{eqnarray*} \quad q_{3m+2} &=&(3m+2)^n+(-1)^{3m+2}((3m+2)^2-(3m+2))+(3m+1)^2\\ \\ &=&\big((3m)^n+{}_nC_1(3m)^{n-1}2+ \cdots + {}_nC_{n-1}(3m)2^{n-1}+2^n\big) +(-1)^{3m+2}(9m^2+9m+2)+9m^2+6m+1\\ \\ &=&3\big((3^{n-1}m^n+{}_nC_1 3^{n-2}2m^{n-1}+ \cdots + {}_nC_{n-1}m2^{n-1}\big) +(-1)^{3m+2}(3m^2+3m)+3m^2+2m\big)+2^n+2(-1)^{3m+2}+1\\ \\ &=&3\big((3^{n-1}m^n+{}_nC_1 3^{n-2}2m^{n-1}+ \cdots + {}_nC_{n-1}m2^{n-1}\big) +(-1)^{3m+2}(3m^2+3m)+3m^2+2m\big)+\\ \\ & &\hspace{3em}2^{3m+2}+2(-1)^{3m}(-1)^2+1\\ \end{eqnarray*}
$ここで$
\begin{eqnarray*} 2^{3m+2} &=&4 \cdot 2^{3m}\\ \\ &=&3 \cdot 2^{3m}+ 2^{3m}\\ \\ &=&3 \cdot 2^{3m}+ 8^m\\ \\ &=&3 \cdot 2^{3m}+ (6+2)^m\\ \\ &=&3 \cdot 2^{3m}+ (6^m+{}_mC_16^{m-1}2 + \cdots + {}_mC_{m-1} 6\cdot 2^{m-1}+2^m)\\ \\ &=&3 \big(2^{3m}+ 2^m3^{m-1} +{}_mC_1 2^{m}3^{m-1} + \cdots + {}_mC_{m-1} \cdot 2^{m}\big)+2^m\\ \end{eqnarray*}
$よって$
$q_{3m+2}=3A+2^m +2(-1)^{3m}+1 \ \ (A は整数)\ \ とおける$
$s \ を整数として$
$(ア)\ \ m=2s \ \ のとき$
\begin{eqnarray*} q_{6s+2} &=&3A+2^{2s}+2(-1)^{6s}+1\\ \\ &=&3A+4^s+2+1\\ \\ &=&3(A+1)+(3+1)^s\\ \\ &=&3(A+1)+3^s+{}_sC_13^{s-1}+{}_sC_23^{s-2}+ \cdots +{}_sC_{s-1}3+1\\ \\ &=&3A'+1 \end{eqnarray*}
$(イ)\ \ m=2s+1 \ \ のとき$
\begin{eqnarray*} q_{6s+5} &=&3A+2^{2s+1}+2(-1)^{6s+3}+1\\ \\ &=&3A+2 \cdot 4^s-2+1\\ \\ &=&3A+2(3B+1)-1 \quad (B\ は整数)\\ \\ &=&3(A+2B)+1 \end{eqnarray*}
$よって、n=3m+2 \ のときも \ q_m \ を \ 3\ で割った余りは \ 1\ である。$
(i),(ii),(iii)$\ \ より \quad q_n=n^n+ (-1)^n (n^2-n)+(n-1)^2 \ \ を \ 3\ で割った余りは \ 1\ である。$
$以上より \quad a=3\ell +1\ \ (\ell \ は整数)\ \ で、p_n \ を \ 3\ で割った余り\ r_n \ は どのような \ n\ に対しても \ r_n=1 \ \ (一定)$
$である。$
$(別解)$
$上の証明には、二項定理が使われているが、次の定理をつかってもっと簡潔に述べることができる。$
$m\ を正の整数とし、2\ つの整数 \ a,\ b\ を \ m\ で割った余りをそれぞれ \ r,\ r'\ \ とすると$
(i)$\ \ a \pm b \ \ を \ m\ で割った余りは、r \pm r' \ \ を \ m\ で割った余りに等しい。$
(ii)$\ \ ab \ \ を \ m\ で割った余りは、r r' \ を \ m\ で割った余りに等しい。$
(iii)$\ \ a^k \ \ (k\ は正の整数)\ \ を \ m\ で割った余りは、r^k \ を \ m\ で割った余りに等しい。$
$これらは、m\ を法として$
$a \equiv r , \ \ b \equiv r' \ \ ならば$
$a \pm b \equiv r \pm r',\quad ab \equiv rr',\quad a^k \equiv r^k $
$と表される。この方法で$
(i)$\ \ n=3m \ \ のとき$
\begin{eqnarray*} q_{3m} &=&(3m)^n+(-1)^n(9m^2-3m)+(3m-1)^2\\ \\ &\equiv& 0^n +(-1)^n \times 0 +(-1)^2\\ \\ &=&1 \end{eqnarray*}
(ii)$\ \ n=3m+1 \ \ のとき$
\begin{eqnarray*} q_{3m+1} &=&(3m+1)^n+(-1)^{3m+1}((3m+1)^2-(3m+1))+(3m)^2\\ \\ &\equiv&1^n+(-1)^{3m+1}(1^2-1)\\ \\ &=&1\\ \end{eqnarray*}
(iii)$\ \ n=3m+2 \ \ のとき$
\begin{eqnarray*} q_{3m+2} &=&(3m+2)^n +(-1)^n((3m+2)^2-(3m+2))+(3m+1)^2\\ \\ &\equiv&2^n +(-1)^n(2^2 -2)+1\\ \\ &\equiv&2^n + 2^n \times 2+1 \qquad (-1 \equiv 2) \\ \\ &\equiv &3 \times 2^n +1\\ \\ &\equiv& 1 \end{eqnarray*}
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