金沢大学(理系) 2026年　問題2


$複素数平面上の \ 2\ 点A(\alpha),\ B(\beta)\ に対し、\alpha \ は \ \alpha > 1\ を満たす実数とし、\beta \ は \ |\beta|=1\ を満たす複素数とし、$
$\beta \ の実部を \ r\ とする。B\ を通り、直線 \ AB\ に直交する直線を \ \ell\ とし、点 \ P(z)\ は \ \ell \ 上を動くとする。$
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 点 \ C(2\beta-\alpha)\ とおくとき、B\ が線分 \ AC\ の中点であることを示せ。$
$(2)\ \ z\ は方程式 \ \ |z-\alpha|=|z-2\beta+\alpha|\ \ を満たすことを示せ。$
$(3)\ \ \ell \ が原点を通るとき、r\alpha =1 \ \ であることを示せ。$
$(4)\ \ r\alpha \ne 1 \ \ のとき、w=\dfrac{1}{z}\ \ で表される点 \ Q(w)\ が描く図形を求めよ。$


(1)

　

$線分 \ AC\ の中点は$

$\dfrac{\alpha + (2\beta - \alpha)}{2}=\beta \ \ だから$

$B\ は線分 \ AC\ の中点である。$


(2)


$\triangle PAC \ において \ PB\ は \ AC\ の垂直二等分線だから$

$PA=PC$

$よって \quad |z-\alpha|=|z-2\beta+\alpha|\ \ を満たす$


(3)


$\ell : |z-\alpha|=|z-2\beta+\alpha|\ \ が原点を通るから$

$z=0 \ を代入して \quad |-\alpha|=|-2\beta+\alpha|$

$|\alpha|^2=|2\beta-\alpha|^2 \quad ここで \ \alpha \ は実数だから$

$\alpha ^2=(2\beta-\alpha)(2\overline{\beta} -\alpha)$

$\alpha ^2=4|\beta|^2-2\alpha (\beta + \overline{\beta}) +\alpha ^2$

$2|\beta|^2-\alpha (\beta + \overline{\beta})=0 $

$|\beta|=1 \ \ だから \quad \alpha (\beta +\overline{\beta}) =2 $

$\beta \ の実部は \quad \dfrac{\beta +\overline{\beta}}{2} \ \ だから \quad \beta +\overline{\beta}=2r$

$ゆえに \quad r\alpha=1$


(4)


$(2) より \quad |z-\alpha|=|z-2\beta+\alpha|$

$z=\dfrac{1}{w} \ \ を代入して$

$\big|\dfrac{1}{w}-\alpha\big|=\big|\dfrac{1}{w}+\alpha-2\beta\big| \hspace{5em}①$

$|1-\alpha w|=|1+(\alpha -2\beta)w|$

$両辺を平方して$

$(1-\alpha w)(1-\alpha \overline{w})=(1+(\alpha -2\beta)w) (1+(\alpha -2\overline{\beta})\overline{w})$

$1-\alpha w -\alpha \overline{w} +\alpha^2 |w|^2 =1+(\alpha -2\beta)w +(\alpha -2\overline{\beta}) \overline{w} +(\alpha -2\beta)(\alpha -2\overline{\beta}) |w|^2$

$1-\alpha w -\alpha \overline{w} +\alpha^2 |w|^2 =1+\alpha w -2\beta w + \alpha \overline{w} -2\overline{\beta} \overline{w} +(\alpha^2 -2\alpha \beta -2\alpha \overline{\beta} +4|\beta|^2)|w|^2$

$|\beta|=1 \ \ をつかってまとめると$

$(2-\alpha (\beta +\overline{\beta}))|w|^2+(\alpha -\beta )w+(\alpha -\overline{\beta})\overline{w} =0$

$ここで、\beta + \overline{\beta}=2r \ \ だから$

$2(1-\alpha r)|w|^2+(\alpha -\beta )w+(\alpha -\overline{\beta})\overline{w} =0$

$|w|^2+\dfrac{\alpha -\beta}{2(1-\alpha r)}w+ \dfrac{\alpha -\overline{\beta}}{2(1-\alpha r)})\overline{w} =0$

$\big(w+\dfrac{\alpha -\overline{\beta}}{2(1-\alpha r)} \big)\big(\overline{w} + \dfrac{\alpha -\beta}{2(1-\alpha r)}\big)= \dfrac{(\alpha -\beta)(\alpha - \overline{\beta})}{4(1-\alpha r)^2} $

$\big(w-\dfrac{\overline{\beta}- \alpha }{2(1-\alpha r)} \big)\big(\overline{w} - \dfrac{\beta -\alpha}{2(1-\alpha r)}\big)= \dfrac{(\alpha -\beta)(\alpha - \overline{\beta})}{4(1-\alpha r)^2} $

$\big|w-\dfrac{\overline{\beta}- \alpha }{2(1-\alpha r)}\big| = \big|\dfrac{\alpha -\beta}{2(1-\alpha r)}\big| $

$よって \ \ 点 \ Q(w)\ は \quad 中心 \ \ \dfrac{\overline{\beta}- \alpha }{2(1-\alpha r)} ,\quad 半径 \ \ \big|\dfrac{\alpha -\beta}{2(1-\alpha r)}\big| \ \ の円を描く$

$ただし、この円は①より原点を通ることがわかるが、w \ne 0 \ \ だから \ \ w=0\ \ を除く$


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