金沢大学(理系) 2026年　問題1


$f(x)=e^{\scriptsize{\dfrac{1}{x}}} \ \ (x > 0)\ \ とし、O\ を原点とする座標平面上の曲線 \ y=f(x)\ を \ C\ とする。曲線 \ C\ 上の点 \ P(t,\ f(t))$
$における \ C\ の接線を \ \ell \ とし。\ell \ と \ x\ 軸との交点を \ A,\ \ell \ と \ y\ 軸との交点を \ B\ とする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ \ell \ \ の方程式を \ t\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ A\ と \ B\ の座標を \ t\ を用いて表せ$
$(3)\ \ P\ が \ C\ 上を動くとき、三角形 \ OAB\ の面積 \ S\ の最小値を求めよ。$


(1)

　

$f(x)=e^{\scriptsize{\dfrac{1}{x}}}\ \ を微分すると \quad f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}e^{\scriptsize{\dfrac{1}{x}}} $

$曲線 \ C\ 上の点 \ P(t,\ f(t))における \ C\ の接線 \ \ell \ は$

$y=-\dfrac{1}{t^2}e^{\scriptsize{\dfrac{1}{t}}}(x-t)+e^{\scriptsize{\dfrac{1}{t}}}$

$\ell : y=-\dfrac{1}{t^2}e^{\scriptsize{\dfrac{1}{t}}}x + \big(\dfrac{1}{t}+1\big)e^{\scriptsize{\dfrac{1}{t}}}$


(2)


$\ell : y=-\dfrac{1}{t^2}e^{\scriptsize{\dfrac{1}{t}}}x + \big(\dfrac{1}{t}+1\big)e^{\scriptsize{\dfrac{1}{t}}}\ \ において$

$y=0\ \ とおくと \quad \dfrac{1}{t^2}e^{\scriptsize{\dfrac{1}{t}}}x=\big(\dfrac{1}{t}+1\big)e^{\scriptsize{\dfrac{1}{t}}} \qquad x=t^2\big(\dfrac{1}{t}+1\big)=t^2+t \qquad A(t^2+t,\ 0)$

$x=0\ \ とおくと \quad 　y=\big(\dfrac{1}{t}+1\big)e^{\scriptsize{\dfrac{1}{t}}} \qquad B(0,\ \big(\dfrac{1}{t}+1\big)e^{\scriptsize{\dfrac{1}{t}}})$


(3)

　

\begin{eqnarray*} S &=&\dfrac{1}{2} \times OA \times OB\\ \\ &=&\dfrac{1}{2} \times (t^2+t) \times \big(\dfrac{1}{t}+1\big)e^{\scriptsize{\dfrac{1}{t}}}\\ \\ &=&\dfrac{1}{2} (t^2+t) \times \dfrac{t+1}{t}e^{\scriptsize{\dfrac{1}{t}}}\\ \\ &=&\dfrac{1}{2} (t+1)^2 e^{\scriptsize{\dfrac{1}{t}}}\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} S' &=&(t+1) e^{\scriptsize{\dfrac{1}{t}}} -\dfrac{1}{2} (t+1)^2 \times \dfrac{1}{t^2} e^{\scriptsize{\dfrac{1}{t}}}\\ \\ &=&(t+1) \big(1-\dfrac{t+1}{2t^2}\big) e^{\scriptsize{\dfrac{1}{t}}}\\ \\ &=&(t+1) \times \dfrac{2t^2-t-1}{2t^2} e^{\scriptsize{\dfrac{1}{t}}}\\ \\ &=&\dfrac{(t+1)(t-1)(2t+1)}{2t^2} e^{\scriptsize{\dfrac{1}{t}}}\\ \end{eqnarray*} $S'=0 \ \ より \ \ t > 0\ \ だから \quad 　t=1$

　

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t& 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline S'& & - & 0 & + \\ \hline S & & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \end{array} \]
$S \ は \ \ t=1\ \ で極小かつ最小となり、最小値は$

$S(1)=\dfrac{1}{2} \times 2^2 \times e=2e$


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