金沢大学(理系) 2025年 問題4
$次の式によって与えられる数列 \ \{a_n\},\ \ \{b_n\},\ \ \{x_n\}\ \ がある。$
\[\quad a_n=\sum_{k=1}^n k,\quad b_n=\sum_{k=1}^n k^2,\quad x_n=\sum_{k=1}^n k\ a_k\]
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ \dfrac{b_n}{a_n}\ \ が整数となる \ n\ をすべて求めよ。$
$(2)\ \ x_n=\dfrac{1}{2}(a_n^2+b_n)\ \ を示せ。$
$(3)\ \ \dfrac{x_n}{a_n}\ \ が整数となる \ n\ をすべて求めよ。$
(1)
\[a_n=\sum_{k=1}^n k =\dfrac{n}{2}(n+1) , \quad b_n=\sum_{k=1}^n k^2=\dfrac{n}{6}(n+1)(2n+1)\quad だから\]
$\dfrac{b_n}{a_n}=\dfrac{n}{6}(n+1)(2n+1) \times \dfrac{2}{n(n+1)}=\dfrac{2n+1}{3}$
$これが整数だから、\ell \ を整数として \quad \dfrac{2n+1}{3}=\ell \quad とおける。$
$3\ell -2n=1$
$3 \times 1 -2 \times 1=1 \quad だから上式から引いて$
$3(\ell -1)-2(n-1)=0$
$3(\ell -1)=2(n-1)=0 \qquad 2\ と \ 3\ は互いに素だから、m\ を整数として$
$n-1=3m,\quad \ell -1=2m \quad とおける。$
$よって \quad n\ は、3m+1\ \ (m\ は整数)\ \ の形の正の整数全体$
(2)
\begin{eqnarray*} x_n &=&\sum_{k=1}^n k\ a_k\\ \\ &=&\sum_{k=1}^n k \times \dfrac{k}{2}(k+1)\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^n k^2(k+1)\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\big(\sum_{k=1}^n k^3 + \sum_{k=1}^n k^2\big)\\ \end{eqnarray*} \[ここで、\sum_{k=1}^n k^3 =\big\{\dfrac{n}{2}(n+1)\big\}^2=\big(\sum_{k=1}^n k\big)^2 \quad だから\] \[x_n=\dfrac{1}{2}\Big(\big(\sum_{k=1}^n k\big)^2 + \sum_{k=1}^n k^2\Big)=\dfrac{1}{2}(a_n^2+b_n)\]
(3)
$(1),(2)より$
\begin{eqnarray*} \dfrac{x_n}{a_n} &=&\dfrac{1}{2}(a_n^2+b_n) \times \dfrac{1}{a_n}\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\big(a_n+ \dfrac{b_n}{a_n}\big)\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\big(\dfrac{n}{2}(n+1) + \dfrac{2n+1}{3}\big)\\ \\ &=&\dfrac{1}{12}\big(3n(n+1) + 2(2n+1)\big)\\ \\ &=&\dfrac{1}{12}(3n^2+7n+2)\\ \\ &=&\dfrac{1}{12}(3n+1)(n+2)\\ \end{eqnarray*}
$これが整数だから \ \ (3n+1)(n+2) \ \ は \ 12=2^2 \times 3\ \ の倍数$
(i)$\ \ n\ が奇数のとき$
$\quad 3n+1 \ \ は偶数、n+2\ \ は奇数だから \ \ 3n+1\ \ は \ 4\ の倍数、n+2\ \ は \ 3\ の倍数$
$\quad p,\ q\ \ を整数として$
\[ \quad \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} 3n+1=4p \hspace{5em}①\\ n+2=3q \hspace{5.5em}②\\ \end{array} \right. \] $\quad とおける。$
$\quad n=\dfrac{4p-1}{3}=3q-2$
$\quad 4p-1=9q-6$
$\quad 9q-4p=5$
$\quad q-4(p-2q)=5 \qquad p-2q=r \quad とおくと$
$\quad q-4r=5$
$\quad q=4r+5=4(r+1)+1$
$\quad r+1=s \ \ とおくと \quad q=4s+1$
$\quad このとき \quad n=3q-2=3(4s+1)-2=12s+1$
$\quad よって \quad n\ は \ \ 12s+1\ \ (s\ は整数)\ \ の形の正の整数全体$
(ii)$\ \ n\ が偶数のとき$
$\quad 3n+1 \ \ は奇数であるが \ 3\ の倍数でない。n+2\ は偶数だから \ 12\ の倍数$
$\quad したがって \ \ s,\ t\ \ を整数として$
\[ \quad \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} 3n+1=s \hspace{5.5em}③\\ n+2=12t \hspace{5em}④\\ \end{array} \right. \] $\quad とおける。$
$\quad ④より \quad n=12t-2 $
$\quad よって \quad n\ は \ \ 12t-2 \ \ (t\ は整数)\ \ の形の正の整数全体$
(i),(ii)$\ \ より \ n\ は \ \ 12u+1,\quad 12u-2 \ \ (u \ は整数)\ \ の形の正の整数全体$
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