金沢大学(理系) 2023年 問題3
$K\ を自然数とする。2\ つの箱 \ A\ と \ B\ があり、A\ に赤玉 \ 1\ 個、B\ に白玉 \ K\ 個が入っている。A\ の中の$
$1\ 個の玉と \ B\ の中の \ 1\ 個の玉の交換を繰り返し行う。n\ 回目の交換が終わったときに \ A\ の中の玉が$
$赤玉である確率を求めよ。$
$ものである。$
$1\ 回目の交換が終わったときには、$
$始めの赤玉は、確率 \ 1\ で白玉になる。$
$2\ 回目の交換が終わったときには、$
$白玉は確率 \ \cfrac{1}{K}\ で赤玉に、確率 \ \cfrac{K-1}{K}\ で白玉のままである。$
$3\ 回目以降の交換が終わったときも、$
$白玉は確率 \ \cfrac{1}{K}\ で赤玉に、確率 \ \cfrac{K-1}{K}\ で白玉のままである。$
$すなわち、玉の色の変化の確率は回数に関係なく一定で$
$赤玉が白玉に変わる確率を \ P_R(W)\ とすると \ \ P_R(W)=1$
$白玉が赤玉に変わる確率を \ P_W(R)\ とすると \ \ P_W(R)= \cfrac{1}{K}$
$白玉が白玉のままである確率を \ P_W(W) \ とすると \ \ P_W(W)= \cfrac{K-1}{K}$
$n\ 回目の交換が終わったときに \ A\ の中の玉が、赤玉である確率を \ P_n(R),\ 白玉である確率を \ P_n(W)\ と表すと$
$積の法則から$
$P_1(R)=0$
$P_1(W)=1$
$P_2(R)=P_1(W) \times P_W(R)=1 \times \cfrac{1}{K}=\cfrac{1}{K}$
$P_2(W)=P_1(W) \times P_W(W)=1 \times \cfrac{K-1}{K}=\cfrac{K-1}{K}$
$P_3(R)=P_2(W) \times P_W(R)=\cfrac{K-1}{K} \times \cfrac{1}{K}=\cfrac{K-1}{K^2}$
$P_3(W)=P_2(R) \times P_R(W)+ P_2(W) \times P_W(W)=\cfrac{1}{K} \times 1 + \cfrac{K-1}{K} \times \cfrac{K-1}{K}=\cfrac{K^2-K+1}{K^2}$
$\hspace{5em} \vdots$
$n\ 回目の交換が終わったときに \ A\ の中の玉が赤玉である確率 \ P_n(R)\ を単に \ P_n\ と表すことにすると$
$P_1=0,\quad P_2=\cfrac{1}{K},\quad P_3=\cfrac{K-1}{K^2},\cdots $
$n\ 回目の交換が終わったときに \ A\ の中の玉が赤玉である確率 \ P_n(R)\ を$
$単に \ P_n \ と表したが、A\ の中の玉が白玉であることは赤玉であることの$
$余事象だから、その確率は \ P_n(W)=1-P_n\ \ となる。$
$n \geqq 2 \quad のとき$
$P_{n+1}(R)=P_n(W) \times P_W(R) \quad より$
$P_{n+1}=(1-P_n) \times \cfrac{1}{K}$
$P_{n+1}=-\cfrac{1}{K}P_n+\cfrac{1}{K}$
$特性方程式 \quad t=-\cfrac{1}{K}t+\cfrac{1}{K} \ \ の解は \ \ t=\cfrac{1}{K+1}$
$辺々引いて \quad P_{n+1}-\cfrac{1}{K+1}=-\cfrac{1}{K}(P_n-\cfrac{1}{K+1})$
$P_n-\cfrac{1}{K+1}=\big(-\cfrac{1}{K}\big)^{n-1}\big(P_1-\cfrac{1}{K+1}\big)$
\begin{eqnarray*} P_n &=&\cfrac{1}{K+1}+\big(-\cfrac{1}{K}\big)^{n-1}\big(P_1-\cfrac{1}{K+1}\big)\\ \\ &=&\cfrac{1}{K+1} - \cfrac{1}{K+1}\big(-\cfrac{1}{K}\big)^{n-1}\\ \\ &=&\cfrac{1}{K+1}\big\{1 - \big(-\cfrac{1}{K}\big)^{n-1}\big\}\\ \end{eqnarray*}
$ただし \quad P_1=0$
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