金沢大学(理系) 2023年　問題1


$関数 \ F(x)=\sin x - \log(1+x)\ \ と \ \ f(x)=F'(x)\ \ を考える。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ f'(\alpha)=0 \ \ となる \ \alpha \ が開区間 \ (0,\ \cfrac{\pi}{2})\ に \ 1\ つだけあることを示せ。$
$(2)\ \ f(\beta)=0 \ \ となる \ \beta \ が開区間 \ (0,\ \cfrac{\pi}{2})\ に \ 1\ つだけあることを示せ。$
$(3)\ \ 開区間 \ (0,\ \cfrac{\pi}{2})\ において、F(x) > 0 \ \ であることを示せ。ただし、自然対数の底 \ e\ が \ \ e > 2.7\ \ を満たす$
$\quad ことを用いてもよい。$
$(4)\ \ 0 \leqq x \leqq \cfrac{\pi}{2} \ \ の範囲において、曲線 \ y=\sin x ,\ 曲線 \ y=\log (1+x), \ および直線 \ x=\cfrac{\pi}{2}\ で囲まれた図形の$
$\quad 面積を求めよ。$


$グラフはグラフ作成ソフトでかいたものだから正確であるが、実際はイメージがつかめればよい。$

(1)


$F(x)=\sin x - \log(1+x) \quad より$

$f(x)=F'(x)=\cos x-\cfrac{1}{1+x}$

$f'(x)=-\sin x+\cfrac{1}{(1+x)^2}$

$f''(x)=-\cos x -\cfrac{2}{(1+x)^3}$

　

$区間 \ (0,\ \cfrac{\pi}{2}) \ で \ f''(x) < 0 \quad だから \ f'(x)\ はこの区間で単調減少$

$f'(0)=1$

$f'(\cfrac{\pi}{2})=-\sin \cfrac{\pi}{2} + \cfrac{1}{(1+\dfrac{\pi}{2})^2}=-1 + \cfrac{1}{(1+\dfrac{\pi}{2})^2}<0$

$f'(x) \ はこの区間で連続だから、中間値の定理により$

$f'(\alpha)=0 \ \ となる \ \alpha \ が開区間 \ (0,\ \cfrac{\pi}{2})\ に \ 1\ つだけ存在する。$


(2)


$(1)より \ \ 区間 \ (0,\ \alpha) \ \ では \ f'(x) > 0 \quad だから \ f(x)\ は単調増加$

$f(0)=\cos 0-\cfrac{1}{1+0}=0 \quad より \quad f(\alpha) > 0$

　

$区間 \ (\alpha , \ \cfrac{\pi}{2})\ \ では \ f'(x) < 0 \quad だから \ f(x)\ は単調減少$

$f(\cfrac{\pi}{2})=\cos \cfrac{\pi}{2}-\cfrac{1}{1+\cfrac{\pi}{2}}= -\cfrac{1}{1+\cfrac{\pi}{2}} < 0 $

$f(x) は この区間で連続だから、中間値の定理により$

$f(\beta)=0 \ \ となる \ \beta \ が開区間 \ (\alpha , \ \cfrac{\pi}{2})\ に \ 1\ つだけ存在する。$


(3)


$(2)より \ 区間 \ (0,\ \beta)\ では \ \ F'(x)=f(x) > 0 ,\quad 区間 \ (\beta , \ \cfrac{\pi}{2})\ \ では \ \ F'(x)=f(x) < 0$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& 0 & \cdots & \beta & \cdots & \dfrac{\pi}{2}\\ \hline F'(x) & & + & 0 & - & & \\ \hline F(x)& 0 & \nearrow & 極大 & \searrow & & \\ \end{array} \]

　

$F(0)=\sin 0-\log 1=0$

$F(\cfrac{\pi}{2})=\sin \cfrac{\pi}{2}-\log (1+\cfrac{\pi}{2})=1-\log (1+\cfrac{\pi}{2})$

$ここで、\cfrac{\pi}{2} < \cfrac{3.15}{2} < 1.58 \quad だから \quad 1+\cfrac{\pi}{2} < 2.58 < e$

$よって \quad 1-\log (1+\cfrac{\pi}{2})=\log e - \log (1+\cfrac{\pi}{2}) > 0 \quad より \quad F(\cfrac{\pi}{2}) > 0$

$したがって \quad F(x) >0$


(4)


$(3)より区間 \ (0,\ \cfrac{\pi}{2})\ \ で \ \ F(x)=\sin x - \log(1+x) > 0 \quad だから \quad \sin x > \log(1+x) $

　

$求める図形の面積を \ S\ とすると$

\begin{eqnarray*} S &=&\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}(\sin x-\log(1+x))dx\\ \\ &=&\big[-\cos x-(1+x)\log(1+x)\big]_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} + \int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}((1+x) \times \cfrac{1}{1+x}dx\\ \\ &=&-(1+\small{\cfrac{\pi}{2}})\log(1+\small{\cfrac{\pi}{2}})+1 +\big[ x \big]_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \\ \\ &=&-(1+\small{\cfrac{\pi}{2}})\log(1+\small{\cfrac{\pi}{2}}) + 1 + \small{\cfrac{\pi}{2}} \\ \\ &=&(1+\small{\cfrac{\pi}{2}})(1-\log(1+\small{\cfrac{\pi}{2}})) \end{eqnarray*}

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