鹿児島大学(理系) 2023年 問題5
$次の問いに答えよ。ただし、i\ は虚数単位とする。$
$(1)\ \ z_1,\ z_2\ を異なる \ 2\ つの複素数とするとき、\cfrac{1+iz_1}{z_1+i} \ne \cfrac{1+iz_2}{z_2+i}\ \ となることを示せ。$
$\quad ただし、z_1 \ne -i,\ \ z_2 \ne -i \ \ とする。$
$(2)\ \ w\ を \ i\ 以外の複素数とするとき、\cfrac{1+iz}{z+i}=w \ \ かつ \ \ z \ne -i \ \ を満たす複素数 \ z\ が存在することを示せ。$
$(3)\ \ -i\ 以外の複素数 \ z\ について、z\ の虚部が \ b\ となることと、w=\cfrac{1+iz}{z+i}\ \ が \ \ \big|w-\cfrac{i}{2}\big|=\cfrac{1}{2}\ \ を満たす$
$\quad ことが同値になるように実数 \ b\ を定めよ。$
(1)
\begin{eqnarray*} & &\cfrac{1+iz_1}{z_1+i} - \cfrac{1+iz_2}{z_2+i}\\ \\ &=&\cfrac{(1+iz_1)(z_2+i)- (1+iz_2)(z_1+i)}{(z_1+i)(z_2+i)}\\ \\ &=&\cfrac{(z_2+i+iz_1z_2-z_1)-(z_1+i +iz_1z_2 -z_2)}{(z_1+i)(z_2+i)}\\ \\ &=&\cfrac{2(z_2-z_1)}{(z_1+i)(z_2+i)}\\ \\ &\ne&0 \end{eqnarray*} $よって \quad \cfrac{1+iz_1}{z_1+i} \ne \cfrac{1+iz_2}{z_2+i}$
(2)
$\cfrac{1+iz}{z+i}=w \ \ より$
$1+iz =w(z+i)$
$(w-i)z=1-iw$
$w \ne i \quad だから \quad z=\cfrac{1-iw}{w-i}$
$すなわち \quad w\ に対して \quad z=\cfrac{1-iw}{w-i} \quad とすると \quad \cfrac{1+iz}{z+i}=w \ \ となる。$
(3)
$w=\cfrac{1+iz}{z+i}\ \ に対して \qquad \big|w-\cfrac{i}{2}\big|=\cfrac{1}{2} \Longleftrightarrow z\ の虚部が \ b \qquad となる実数 \ b\ を求めればよい。$
(i)$\ \ \Longrightarrow \ \ の証明$
$\big|\cfrac{1+iz}{z+i}-\cfrac{i}{2}\big|=\cfrac{1}{2}$
$\big|\cfrac{2(1+iz)-i(z+i)}{2(z+i)}\big|=\cfrac{1}{2}$
$\big|\cfrac{3+iz}{2(z+i)}\big|=\cfrac{1}{2}$
$|3+iz|=|z+i|$
$両辺平方して$
$(3+iz)(3-i\overline{z})=(z+i)(\overline{z}-i)$
$9-3i\overline{z}+3iz+z\overline{z} = z\overline{z} -iz+i\overline{z}+1$
$i(z-\overline{z})=-2$
$z-\overline{z}=-\cfrac{2}{i}=2i$
$z=a+bi\ \ (a,\ b\ \ は実数)\ \ とおくと \quad \overline{z}=a-bi \quad だから$
$2bi=2i \qquad \therefore \ \ b=1 \ \ となって \ z\ の虚部は \ \ b=1$
(ii)$\ \ \Longleftarrow \ \ の証明$
$z=a+i \ \ (a\ は実数)\ \ ならば$
\begin{eqnarray*} & &\big|\cfrac{1+iz}{z+i}-\cfrac{i}{2}\big|\\ \\ &=&\big|\cfrac{1+i(a+i)}{(a+i)+i}-\cfrac{i}{2}\big|\\ \\ &=&\big|\cfrac{ai}{a+2i}-\cfrac{i}{2}\big|\\ \\ &=&\big|\cfrac{2ai-i(a+2i)}{2(a+2i)}\big|\\ \\ &=&\big|\cfrac{2+ai}{2(a+2i)}\big|\\ \\ &=&\cfrac{\sqrt{4+a^2}}{2\sqrt{a^2+4}}\\ \\ &=&\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*}
$したがって、z\ の虚部が \ b=1\ となることと、w=\cfrac{1+iz}{z+i}\ \ が \ \ \big|w-\cfrac{i}{2}\big|=\cfrac{1}{2}\ \ を満たすことは同値である。$
メインメニュー に戻る