鹿児島大学 2023年 問題3-3
$袋に赤玉 \ 4\ 個と白玉 \ 2\ 個が入っている。無作為に玉を\ 1\ 個取り出して、それが赤玉であれば白玉と、$
$白玉であれば赤玉と取り換えて袋に戻すという操作を考える。この操作を \ 2\ 回繰り返したあと袋に$
$ある赤玉の数を \ X\ とし、一方、3\ 回繰り返したあと袋にある白玉の数を \ Y\ とする。$
$(1)\ \ 確率 \ P(X=4)\ を求めよ。$
$(2)\ \ 確率変数 \ X\ の期待値 \ E(X)\ と分散 \ V(X)\ を求めよ。$
$(3)\ \ 確率変数 \ Y\ の期待値 \ E(Y)\ を求めよ。$
(1)
$1\ 回目に白玉、2\ 回目に赤玉を取り出す事象の和事象である。$
$この \ 2\ つの事象は互いに排反であるから$
$\quad P(X=4)=\cfrac{4}{6} \times \cfrac{3}{6} + \cfrac{2}{6} \times \cfrac{5}{6}=\cfrac{22}{36}=\cfrac{11}{18}$
(2)
$Xのとる値は \ 2,\ 4,\ 6\ であるから$
$\quad P(X=2)=\cfrac{4}{6} \times \cfrac{3}{6} =\cfrac{12}{36}=\cfrac{6}{18}$
$\quad P(X=6)=\cfrac{2}{6} \times \cfrac{1}{6} =\cfrac{2}{36}=\cfrac{1}{18}$
$確率分布表は$
\[ \quad \begin{array}{c | c c c | c} X & 2 & 4 & 6 & 計\\ \hline P(X) & \cfrac{6}{18} & \cfrac{11}{18} & \cfrac{1}{18} & 1\\ \end{array} \]
$E(X)=2 \times \cfrac{6}{18}+ 4 \times \cfrac{11}{18} + 6 \times \cfrac{1}{18}=\cfrac{62}{18}=\cfrac{31}{9}$
$V(X)=E(X^2) - \big(E(X)\big)^2=\big(2^2 \times \cfrac{6}{18}+ 4^2 \times \cfrac{11}{18} + 6^2 \times \cfrac{1}{18}\big)-\big(\cfrac{31}{9}\big)^2=\cfrac{236}{18}-\cfrac{31^2}{9^2}=\cfrac{101}{81}$
(3)
\begin{eqnarray*} P(Y=1) &=&\cfrac{4}{6} \times \cfrac{3}{6} \times \cfrac{2}{6}+ \cfrac{2}{6} \times \cfrac{5}{6} \times \cfrac{2}{6}+ \cfrac{2}{6} \times \cfrac{1}{6} \times 1 \\ &=&\cfrac{24}{216}+ \cfrac{20}{216}+ \cfrac{12}{216}\\ &=&\cfrac{7}{27}\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} P(Y=3) &=&\cfrac{4}{6} \times \cfrac{3}{6} \times \cfrac{4}{6}+ \cfrac{4}{6} \times \cfrac{3}{6} \times \cfrac{4}{6}+ \cfrac{2}{6} \times \cfrac{5}{6} \times \cfrac{4}{6} \\ &=&\cfrac{48}{216}+ \cfrac{48}{216}+ \cfrac{40}{216}\\ &=&\cfrac{17}{27}\\ \end{eqnarray*} $P(Y=5)=\cfrac{4}{6} \times \cfrac{3}{6} \times \cfrac{2}{6}=\cfrac{3}{27}$
$確率分布表は$
\[ \quad \begin{array}{c | c c c | c} Y & 1 & 3 & 5 & 計\\ \hline P(Y) & \cfrac{7}{27} & \cfrac{17}{27} & \cfrac{3}{27} & 1\\ \end{array} \]
$E(Y)=1 \times \cfrac{7}{27}+ 3 \times \cfrac{17}{27} + 5 \times \cfrac{3}{27}=\cfrac{73}{27}$
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