鹿児島大学(理系) 2023年 問題3-1
$自然数 \ n\ に対して、a_ n,\ b_n\ を\ \ \big(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^n =a_n+b_n\sqrt{5}\ \ を満たす有理数とする。$
$ただし、4\ つの有理数 \ a,\ b,\ c,\ d\ が \ \ a+b\sqrt{5}=c+d\sqrt{5}\ \ を満たせば \ a=c\ かつ \ b=d\ が成り立つので、$
$a_n,\ b_n \ は各自然数に対して \ 1\ 通りに定まることに注意する。$
$(1)\ \ n\ が \ 3\ の倍数であるとき、a_n,\ b_n\ がともに整数となることを示せ。$
$(2)\ \ 自然数 \ n\ が \ 3\ の倍数であるとき、a_n,\ b_n\ のどちらか一方が偶数で他方が奇数となることを示せ。$
$(3)\ \ a_n,\ b_n\ がともに整数となるのは \ n\ が \ 3\ の倍数のときに限ることを示せ。$
(1)
$n=3m \ \ (m\ は整数)\ \ のとき$
$\quad \big(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^n=\big(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^{3m}=\big\{\big(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^3\big\}^m =\big(\cfrac{1+3\sqrt{5}+15+5\sqrt{5}}{8}\big)^m =(2+\sqrt{5})^m$
$よって \quad (2+\sqrt{5})^m=a_{3m}+b_{3m}\sqrt{5}\ \ (a_{3m},\ b_{3m}\ は有理数)\ とおける。$
$このとき、a_{3m},\ b_{3m}\ がともに整数となることを数学的帰納法で示す。$
(i)$\ \ m=1 \ のとき \quad a_3=2,\ b_3=1 \ \ だからともに整数である。$
(ii)$\ \ m=k \ のとき成りたつとすると 整数 \ a_{3k},\ b_{3k}\ \ を用いて \quad (2+\sqrt{5})^k=a_{3k}+b_{3k}\sqrt{5} \quad とおける。$
$このとき$
$\quad (2+\sqrt{5})^{k+1}=(2+\sqrt{5})(2+\sqrt{5})^k=(2+\sqrt{5})(a_{3k} + b_{3k}\sqrt{5})=(2a_{3k}+5b_{3k})+(a_{3k}+2b_{3k})\sqrt{5}$
$a_{3k},\ b_{3k}\ は整数だから \ \ 2a_{3k}+5b_{3k}\ と \ a_{3k}+2b_{3k}\ はともに整数$
$よって \ m=k+1 \ のときも成りたつ。$
(i),(ii)$\ \ より \ \ すべての自然数 \ m\ について \quad ともに整数の \ a_{3m},\ b_{3m}\ をもちいて$
$\qquad (2+\sqrt{5})^m=a_{3m}+b_{3m}\sqrt{5}\quad とおける。$
$すなわち \ n\ が \ 3\ の倍数であるとき、a_n,\ b_n\ がともに整数である。$
(2)
$(1)より \ \ \ n=3m\ (m\ は整数)\ のとき、ともに整数の \ a_{3m},\ b_{3m}\ をもちいて$
$\quad \big(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^n=(2+\sqrt{5})^m=a_{3m}+b_{3m}\sqrt{5} \quad とおけて$
$\quad (2+\sqrt{5})^{m+1}=(2a_{3m}+5b_{3m})+(a_{3m}+2b_{3m})\sqrt{5} \quad だから$
$\quad a_{3(m+1)}=2a_{3m}+5b_{3m} , \qquad b_{3(m+1)}=a_{3m}+2b_{3m} $
(i)$\ \ a_{3m} \ が偶数、\ \ b_{3m}\ が奇数のとき$
$\quad a_{3(m+1)}=2 \times (偶数) + 5 \times (奇数) = (偶数)+ (奇数)=(奇数)$
$\quad b_{3(m+1)}= (偶数) + 2 \times (奇数) = (偶数)+ (偶数)=(偶数)$
(ii)$\ \ a_{3m} が奇数、\ \ b_{3m} \ が偶数のとき$
$\quad a_{3(m+1)}=2 \times (奇数) + 5 \times (偶数) = (偶数)+ (偶数)=(偶数)$
$\quad b_{3(m+1)}= (奇数) + 2 \times (偶数) = (奇数)+ (偶数)=(奇数)$
$よって、自然数 \ n\ が \ 3\ の倍数であるとき、$
$a_n,\ b_n\ のどちらか一方が偶数で他方が奇数のとき、a_{n+3},\ b_{n+3}\ は偶数、奇数が入れ替わる。$
$なお、a_3=2\ は偶数、b_3=1\ は奇数だから、a_6\ は奇数 \ \ b_6\ は偶数,\ \ a_9\ は偶数 \ \ b_9 は奇数 \cdots $
$このように、自然数 \ n\ が \ 3\ の倍数であるとき、a_n,\ b_n\ のどちらか一方が偶数で他方が奇数となる。$
(3)
$m\ は整数として$
$①\ \ n=3m \ \ のとき、(1)より \ \ a_n,\ b_n\ はともに整数。$
$②\ \ n=3m+1 \ \ のとき$
$\quad \big(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^{3m+1}=\big(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\big) \big(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^{3m} =\cfrac{1+\sqrt{5}}{2} (a_{3m}+\sqrt{5}b_{3m} )=\cfrac{1}{2}\{(a_{3m} + 5b_{3m})+(a_{3m}+b_{3m}\sqrt{5})\}$
(i)$\ \ a_{3m} \ が偶数ならば \ b_{3m} \ は奇数だから \ \ a_{3m} + 5b_{3m}\ \ は奇数となって \ \ \cfrac{1}{2}\{(a_{3m} + 5b_{3m})\ \ は整数でない。$
(ii)$\ \ a_{3m}\ が奇数ならば \ b_{3m}\ は偶数だから \ \ a_{3m} + b_{3m}\ \ は奇数となって \ \ \cfrac{1}{2}\{(a_{3m} + b_{3m}) \ \ は整数でない。$
$③\ n=3m+2\ \ のとき$
$\quad \big(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^{3m+2}=\big(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^2 \big(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\big)^{3m} =\cfrac{3+\sqrt{5}}{2} (a_{3m}+\sqrt{5}b_{3m} )=\cfrac{1}{2}\{(3a_{3m} + 5b_{3m})+(a_{3m}+3b_{3m}\sqrt{5})\}$
(i)$\ \ a_{3m} \ が偶数ならば \ b_{3m}\ は奇数だから \ \ 3a_{3m} + 5b_{3m}\ \ は奇数となって \ \ \cfrac{1}{2}\{(3a_{3m} + 5b_{3m}) \ \ は整数でない。$
(ii)$\ \ a_{3m}\ が奇数ならば \ b_{3m} \ は偶数だから \ \ a_{3m} + 3b_{3m}\ \ は奇数となって \ \ \cfrac{1}{2}\{(a_{3m} + 3b_{3m})\ \ は整数でない。$
$したがって\ \ a_n,\ b_n\ がともに整数となるのは \ n\ が \ 3\ の倍数のときに限る。$
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