鹿児島大学(理系) 2023年　問題2


$座標平面上の \ 2\ 点 \ A(0,\ 0),\ B(0,\ 5k)\ および放物線 \ C:y=\cfrac{1}{3}x^2+\cfrac{3}{4}\ \ を考える。$
$ただし、k\ は正の定数とする。$
$(1)\ \ 点 \ P\ が \ A,\ B\ からの距離の比が \ 3:2\ の点をすべて動くとき、P\ の軌跡を求めよ。$
$(2)\ \ (1)の軌跡と放物線Cの共有点の個数がちょうど \ 2\ になるような \ k\ の値の範囲を求めよ。$


(1)

　

$PA:PB=3:2 \quad より \quad 2PA=3PB \qquad 4PA^2=9PB^2$

$P(x,\ y)\ \ とおくと \quad 4(x^2+y^2)=9\{x^2+(y-5k)^2\}$

$5x^2+5y^2-90ky+225k^2=0$

$x^2+y^2-18ky+45k^2=0$

$x^2+(y-9k)^2=36k^2$

$よって、点 \ P\ の軌跡は、中心 \ (0,\ 9k)、半径 \ 6k\ の円である。$

$(補充)$

$一般に、2\ 定点 \ A,\ B\ からの距離の比が一定な点の軌跡は$

(i)$\ \ 1:1\ のときは線分 \ AB\ の垂直二等分線$

(ii)$\ \ 1:1\ 以外のときは円(これをアポロニウスの円という)$


(2)


$(1)の円と放物線 \ C\ の共有点は$

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} y=\cfrac{1}{3}x^2+\cfrac{3}{4} \hspace{8.5em}①\\ x^2+(y-9k)^2=36k^2 \hspace{5em}②\\ \end{array} \right. \]
$①,②のグラフはともに \ y\ 軸に関して対称である。$

$①より \quad x^2=3y-\cfrac{9}{4} $

$これを②に代入して$

$(3y-\cfrac{9}{4}) +(y-9k)^2=36k^2$

$y^2-3(6k-1)y+45k^2-\cfrac{9}{4}=0　 \quad ただし \quad y \geqq \cfrac{3}{4}$

　

$共有点の個数がちょうど \ 2\ になるのは$

(i)$ \ y\ が実数解を \ 1\ 個もつとき \ (赤色の円)$

$ \quad ①,②のグラフはともに \ y\ 軸に関して対称であるから、$

$\quad 交点は \ 2\ 個になる。$

$ \quad f(y)=y^2-3(6k-1)y+45k^2-\cfrac{9}{4} \quad とおくと$

$ \quad y \geqq \cfrac{3}{4} \ \ の解を \ 1\ つもつ条件は \quad f(\cfrac{3}{4})<0 \ \ だから$

　

$ \quad (\cfrac{3}{4})^2 -3(6k-1)\times \cfrac{3}{4}+45k^2-\cfrac{9}{4}<0$

$ \quad \cfrac{9}{16} - \cfrac{9}{4}(6k-1)+45k^2-\cfrac{9}{4}<0$

$ \quad 45k^2-\cfrac{27}{2}k+ \cfrac{9}{16} <0$

$ \quad k^2-\cfrac{3}{10}k+ \cfrac{1}{80} <0$

$ \quad 80k^2-24k+ 1 <0$

$ \quad (20k-1)(4k-1)<0$

$ \quad \cfrac{1}{20} < k < \cfrac{1}{4}$


(ii)$ \ ①②が接するとき$

$ \quad y^2-3(6k-1)y+45k^2-\cfrac{9}{4}=0 \quad が重解をもつから$

$ \quad D=9(6k-1)^2-4(45k^2-\cfrac{9}{4})=0$

$ \quad 144k^2-108k+18=0$

$ \quad 8k^2-6k+1=0$

$ \quad (4k-1)(2k-1)=0$

$ \quad k=\cfrac{1}{4},\quad \cfrac{1}{2}$

$ \quad このとき重解は、 y=\cfrac{3(6k-1)}{2} \quad だから$

$ \quad k=\cfrac{1}{4} \quad のとき$

$\hspace{3em}y=\cfrac{3(6 \times \dfrac{1}{4}-1)}{2}=\cfrac{3}{4},\quad x=0\ で、接点 \ (0,\ \cfrac{3}{4})\ は放物線の頂点となり共有点はただ \ 1\ 個である。$

$ \quad k=\cfrac{1}{2} \quad のとき$

$\hspace{3em} y=\cfrac{3(6 \times \dfrac{1}{2}-1)}{2}=3 \qquad \cfrac{1}{3}x^2+\cfrac{3}{4}=3 \quad より \quad x=\pm \cfrac{3\sqrt{3}}{2} \ \ で共有点は \ 2\ 個である(緑色の円)$

(i)(ii)$\ \ より円と放物線Cの共有点の個数がちょうど \ 2\ になる\ k\ の値の範囲は$

$\quad \cfrac{1}{20} < k < \cfrac{1}{4},\quad k=\cfrac{1}{2}$


$(補充)$

$交点の個数は$

(i)$\ \ 0 < k <\cfrac{1}{20} \quad のとき \quad 0\ 個$

(ii)$\ \ k =\cfrac{1}{20} \quad のとき \quad 1\ 個(接する)$

(iii)$\ \ \cfrac{1}{20}＜k < \cfrac{1}{4} \quad のとき \quad 2\ 個$

(iv)$\ \ k=\cfrac{1}{4} \quad のとき \quad 1\ 個(接する)$

(v)$\ \ \cfrac{1}{4}＜k < \cfrac{1}{2} \quad のとき \quad 0\ 個$

(vi)$\ \ k=\cfrac{1}{2} \quad のとき \quad 2\ 個(接する)$

(vii)$\ \ k>\cfrac{1}{2} \quad のとき \quad 4\ 個$


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