鹿児島大学(理系) 2023年 問題1-2
$\theta =\sqrt{5}+\sqrt{7}\ \ とする。有理数を係数とする \ 4\ 次の整式 f(x)\ のうち、f(\theta)=0\ \ を満たし4\ 次の項の$
$係数が \ 1\ となるものを \ 1\ つ答えよ。$
$\theta =\sqrt{5}+\sqrt{7}\quad より \quad \theta -\sqrt{5} =\sqrt{7}$
$両辺を平方して \quad \theta ^2 - 2\sqrt{5}\theta +5=7$
$\theta ^2 - 2= 2\sqrt{5}\theta $
$もう \ 1\ 度両辺を平方して \quad \theta ^4 - 4\theta ^2 +4= 20\theta ^2$
$\theta ^4 - 24\theta ^2 +4= 0$
$したがって \ \ 求める \ 4\ 次の整式は \quad f(x)=x^4-24x +4$
$(補充)$
$最高次の係数が \ 1\ となる有理数を係数とする整式をモニックな整式といいます。$
$この問題は \ \ \theta =\sqrt{5}+\sqrt{7}\ \ を解にもつもニックな既約方程式を求める問題です。$
$なぜ \ 4\ 次方程式でよいのかなど、これ以上については代数学の「体論」を学ぶことになります。$
$上は高校生っぽい解答ですが、次のような少し高級な方法もあります。$
$(別解)$
$\theta =\sqrt{5}+\sqrt{7} $
$両辺平方して \quad \theta ^2=12+2\sqrt{5}\sqrt{7} \hspace{5em}(1)$
$この両辺をさらに平方して \quad \theta ^4=144 + 140 +48\sqrt{5}\sqrt{7} \hspace{5em}(2)$
$(2)-(1) \times 24$
$\theta ^4 - 24 \theta ^2=284 -12 \times 24$
$\therefore \ \ \theta ^4 - 24 \theta ^2 +4=0$
$(類題)$
$\theta =\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} \ \ のときこれを満たすモニックな既約方程式を求めてみましょう。$
$\theta =\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2=\sqrt[3]{2}(1 + (\sqrt[3]{2})$
$よって \ \ \theta \ \ の \ 3\ 次式であると考えられます。$
\begin{eqnarray*} \theta ^3 &=&2(1 + (\sqrt[3]{2})^3\\ \\ &=&2(1 + 3\sqrt[3]{2} + 3(\sqrt[3]{2})^2 + (\sqrt[3]{2})^3\\ \\ &=&2(1 + 3\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{4} + 2)\\ \\ &=&6+ 6(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})\\ \\ &=&6+6\theta \end{eqnarray*} $\therefore \ \ \theta ^3-6\theta -6=0$
$したがって \ \ 求める既約方程式は \quad x^3-6x-6=0$
メインメニュー に戻る